מבוא לעיקול הפעמון

התפלגות רגילה ידועה יותר כעקומת פעמון. עקומה מסוג זה מופיעה לאורך כל הדרך נתונים סטטיסטיים והעולם האמיתי.

לדוגמא, אחרי שאני עושה מבחן באחת מהשיעורים שלי, דבר אחד שאני אוהב לעשות הוא ליצור גרף של כל התוצאות. לרוב אני רושם 10 טווחי נקודה כגון 60-69, 70-79 ו- 80-89, ואז מציב סימן עלון עבור כל ציון מבחן בטווח זה. כמעט בכל פעם שאני עושה זאת, מתגלה צורה מוכרת. כמה סטודנטים עושים טוב מאוד וחלקם עושים בצורה גרועה מאוד. חבורה של עשרות בסופו של דבר מסתבכת סביב הציון הממוצע. בדיקות שונות עשויות לגרום לאמצעים שונים וסטיות תקן, אך צורת הגרף כמעט תמיד זהה. צורה זו נקראת בדרך כלל עקומת הפעמון.

מדוע לקרוא לזה עקומת פעמון? עקומת הפעמון מקבלת את שמה די פשוט משום שצורתה דומה לזו של פעמון. עקומות אלה מופיעות לאורך כל לימודי הסטטיסטיקה, ולא ניתן להדגיש את חשיבותן יתר על המידה.

כדי להיות טכני, סוגים של עקומות הפעמון שאכפת לנו ביותר בסטטיסטיקה נקראים למעשה נורמליים התפלגויות הסתברות. עבור הדברים הבאים נניח שעקומות הפעמון עליה אנו מדברים הן התפלגות הסתברות תקינה. למרות השם "עקומת פעמון", עקומות אלה אינן מוגדרות על פי צורתן. במקום זאת, מבט מאיים נוסחה משמש כהגדרה הרשמית לעיקולי פעמון.

אבל אנחנו באמת לא צריכים לדאוג יותר מדי מהנוסחה. שני המספרים היחידים שאכפת לנו מהם הם סטיית הממוצע והסטנדרט. עקומת הפעמון עבור סט נתונים נתון ממוקמת במרכז. כאן נמצאת הנקודה הגבוהה ביותר של העקומה או "ראש הפעמון". סטיית התקן של מערכת נתונים קובעת עד כמה פרוסת עקומת הפעמון שלנו. ככל שסטיית התקן גדולה יותר, כך העקומה מתפשטת יותר.

ישנן כמה תכונות של עקומות פעמון החשובות ומבדילות אותן מעקומות אחרות בסטטיסטיקה:

• לעיקול פעמון יש מצב אחד, העולה בקנה אחד עם הממוצע והחציון. זהו מרכז העקומה בו הוא הגבוה ביותר.
• עקומת פעמון היא סימטרית. אם זה היה מקופל לאורך קו אנכי בממוצע, שני החצאים היו מתאימים בצורה מושלמת מכיוון שהם תמונות מראה זו של זו.
• עקומת פעמון עוקבת אחר הכלל 68-95-99.7, המספק דרך נוחה לבצע חישובים משוערים:
  • כ 68% מכלל הנתונים נמצאים בסטיית תקן אחת של הממוצע.
  • בערך 95% מכל הנתונים נמצאים בשתי סטיות תקן מה הממוצע.
  • כ- 99.7% מהנתונים נמצאים בתוך שלוש סטיות תקן מה הממוצע.

אם אנו יודעים כי עקומת פעמון מעצבת את הנתונים שלנו, נוכל להשתמש בתכונות לעיל של עקומת הפעמון כדי לומר לא מעט. כשחוזרים לדוגמא המבחן, נניח שיש לנו 100 סטודנטים שעברו מבחן סטטיסטי עם ציון ממוצע של 70 וסטיית תקן של 10.

סטיית התקן היא 10. הפחת והוסף 10 לממוצע. זה נותן לנו 60 ו -80. לפי הכלל 68-95-99.7 היינו מצפים שכ- 68% מתוך 100, או 68 סטודנטים יבקשו בין 60 ל 80 במבחן.

פעמיים סטיית התקן היא 20. אם נחסר ונוסיף 20 לממוצע יש לנו 50 ו -90. היינו מצפים שכ- 95% מתוך 100, או 95 סטודנטים יבקשו ציון בין 50 ל 90 במבחן.

חישוב דומה אומר לנו שביעילות כולם קלעו בין 40 ל 100 במבחן.

קיימים יישומים רבים לעיקולי פעמון. הם חשובים בסטטיסטיקה מכיוון שהם מדגמים מגוון רחב של נתונים בעולם האמיתי. כאמור, תוצאות הבדיקה הן מקום אחד בו הן צצות. הנה כמה אחרים:

• מדידות חוזרות ונשנות של ציוד
• מדידות של מאפיינים בביולוגיה
• התקרבות לאירועים מקריים כמו הפיכת מטבע מספר פעמים
• גובה התלמידים בדרגה מסוימת במחוז בית ספר

למרות שיש אינספור יישומים של עקומות פעמון, זה לא מתאים לשימוש בכל הסיטואציות. כמה מערכי נתונים סטטיסטיים, כגון כשל בציוד או חלוקת הכנסות, הם בעלי צורות שונות ואינן סימטריות. פעמים אחרות יכולות להיות שני מצבים או יותר, למשל כאשר מספר תלמידים מצליחים היטב וכמה מצליחים מאוד במבחן. יישומים אלה דורשים שימוש בעקומות אחרות המוגדרות באופן שונה מעקומת הפעמון. הידע כיצד התקבלה מערכת הנתונים המדוברת יכול לעזור לקבוע אם יש להשתמש בעקומת פעמון כדי לייצג את הנתונים או לא.