הסתברויות לגלגול שלוש קוביות

קוביות מספקות איורים נהדרים עבור מושגים בהסתברות. הקוביות הנפוצות ביותר הן קוביות עם שישה צדדים. כאן נראה כיצד לחשב הסתברויות לגלגול של שלוש קוביות סטנדרטיות. זו בעיה סטנדרטית יחסית לחישוב ההסתברות לסכום שהושג על ידי מגלגל שתי קוביות. יש בסך הכל 36 לחמניות שונות עם שני קוביות, כאשר כל סכום של 2 עד 12 אפשרי.כיצד הבעיה משתנה אם נוסיף קוביות נוספות?

כמו שלמות אחת יש שש תוצאות ושתי קוביות יש 6² = 36 תוצאות, לניסוי ההסתברות לגלגל שלוש קוביות יש 6³ = 216 תוצאות. רעיון זה הכלל עוד יותר לקוביות נוספות. אם נתגלגל n קוביות אז יש 6ⁿ תוצאות.

אנו יכולים גם לשקול את הסכומים האפשריים מגלגל כמה קוביות. הסכום הקטן ביותר האפשרי מתרחש כאשר כל הקוביות הן הקטנות ביותר, או אחת מכל אחת. זה נותן סכום של שלושה כשאנחנו מגלגלים שלוש קוביות. המספר הגדול ביותר על גזע הוא שש, מה שאומר שהסכום הגדול ביותר האפשרי מתרחש כאשר שלוש הקוביות הן ששיות. סכום המצב הזה הוא 18.

מתי n קוביות מגולגלות, הסכום הכי פחות אפשרי הוא n והסכום הגדול ביותר האפשרי הוא 6n.

• ישנה דרך אחת אפשרית לשלוש קוביות
• 3 דרכים ל -4
• 6 ל -5
• 10 ל 6
• 15 עבור 7
• 21 ל -8
• 25 ל 9
• 27 ל -10
• 27 ל -11
• 25 ל 12
• 21 ל -13
• 15 ל -14
• 10 ל -15
• 6 ל -16
• 3 ל -17
• 1 ל -18

כפי שנדון לעיל, במשך שלוש קוביות הסכומים האפשריים כוללים כל מספר בין שלוש ל -18. ניתן לחשב את ההסתברויות באמצעות אסטרטגיות ספירה והכרה בכך שאנחנו מחפשים דרכים לחלק את המספר לשלושה מספרים שלמים. לדוגמה, הדרך היחידה להשיג סכום של שלוש היא 3 = 1 + 1 + 1. מכיוון שכל מתה אינו תלוי באחרים, ניתן להשיג סכום כמו ארבעה בשלושה אופנים שונים:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

ניתן להשתמש בטיעוני ספירה נוספים כדי למצוא את מספר הדרכים ליצירת הסכומים האחרים. המחיצות לכל סכום עוקבות אחר כך:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

כאשר שלושה מספרים שונים יוצרים את המחיצה, כמו 7 = 1 + 2 + 4, ישנם 3! (3x2x1) דרכים שונות מחלחל המספרים האלה. אז זה יספר לשלוש תוצאות במרחב המדגם. כאשר שני מספרים שונים יוצרים את המחיצה, ישנן שלוש דרכים שונות להתיר מספרים אלה.

אנו מחלקים את המספר הכולל של הדרכים להשיג כל סכום במספר הכולל של התוצאות ב- שטח מדגם, או 216. התוצאות הן:

• הסתברות לסכום של 3: 1/216 = 0.5%
• הסתברות לסכום של 4: 3/216 = 1.4%
• הסתברות לסכום של 5: 6/216 = 2.8%
• הסתברות לסכום של 6: 10/216 = 4.6%
• הסתברות לסכום של 7: 15/216 = 7.0%
• הסתברות לסכום של 8: 21/216 = 9.7%
• הסתברות לסכום של 9: 25/216 = 11.6%
• הסתברות לסכום של 10: 27/216 = 12.5%
• הסתברות לסכום של 11: 27/216 = 12.5%
• הסתברות לסכום של 12: 25/216 = 11.6%
• הסתברות לסכום של 13: 21/216 = 9.7%
• הסתברות לסכום של 14: 15/216 = 7.0%
• הסתברות לסכום של 15: 10/216 = 4.6%
• הסתברות לסכום של 16: 6/216 = 2.8%
• הסתברות לסכום של 17: 3/216 = 1.4%
• הסתברות לסכום של 18: 1/216 = 0.5%

כפי שניתן לראות, הערכים הקיצוניים של 3 ו -18 הם פחות סבירים. הסכומים שנמצאים בדיוק באמצע הם הסבירים ביותר. זה תואם את מה שנצפה כאשר התגלגלו שני קוביות.