לפתור משוואות: צמיחה מעריכית

פונקציות אקספוננציאליות מספרות את סיפורי השינוי הנפיץ. שני סוגים של פונקציות מעריכיות הם צמיחה אקספוננציאלית ו ריקבון מעריכי. ארבעה משתנים - אחוז שינוי, זמן, הסכום בתחילת תקופת הזמן והסכום בסוף תקופת הזמן - מילא תפקידים בפונקציות מעריכיות. מאמר זה מתמקד כיצד להשתמש בבעיות מילים כדי למצוא את הסכום בתחילת פרק הזמן, א.

צמיחה מעריכית: השינוי שמתרחש כאשר כמות מקורית מוגברת בשיעור קבוע לאורך זמן

שימושים בצמיחה מעריכית בחיים האמיתיים:

• ערכי מחירי הדירות
• ערכי השקעות
• חברות מוגברת לאתר פופולרי ברשתות חברתיות

הנה פונקציית צמיחה מעריכית:

y = א (1 + b)^איקס

• y: הסכום הסופי שנותר לאורך פרק זמן
• א: הסכום המקורי
• איקס: זמן
• ה גורם גדילה הוא (1 + ב).
• המשתנה, ב, הוא שינוי באחוזים בצורה עשרונית.

אם אתה קורא מאמר זה, אתה כנראה שאפתן. בעוד שש שנים, אולי תרצה להמשיך לתואר ראשון באוניברסיטת דרים. עם תג מחיר של 120 אלף דולר, אוניברסיטת חלומות מעוררת אימהות כלכליות בלילה. אחרי לילות ללא שינה, אתה, אמא ואבא נפגשים עם מתכנן פיננסי. עיניהם העקומות מדמם של ההורים שלך מתבהרות כאשר המתכנן חושף השקעה עם קצב צמיחה של 8% שיכול לעזור למשפחתך להגיע ליעד של 120 אלף דולר. ללמוד קשה. אם אתה והוריך משקיעים היום 75,620.36 דולר, אוניברסיטת חלומות תהפוך למציאות שלך.

פונקציה זו מתארת ​​את הצמיחה האקספוננציאלית של ההשקעה:

120,000 = א(1 +.08)⁶

• 120,000: הסכום הסופי שנותר לאחר 6 שנים
• .08: קצב צמיחה שנתי
• 6: מספר השנים בהן ההשקעה גדלה
• א: הסכום ההתחלתי שמשפחתך השקיעה

רמז: בזכות המאפיין הסימטרי של שוויון, 120,000 = א(1 +.08)⁶ זהה ל א(1 +.08)⁶ = 120,000. (תכונה סימטרית של שוויון: אם 10 + 5 = 15, אז 15 = 10 +5.)

אם אתה מעדיף לשכתב את המשוואה עם הקבוע, 120,000, מימין למשוואה, עשה זאת.

א(1 +.08)⁶ = 120,000

אמנם, המשוואה לא נראית כמו משוואה לינארית (6א = 120,000 $), אך זה ניתן לפתור. להישאר עם זה!

א(1 +.08)⁶ = 120,000

היזהר: אל תפתור את המשוואה האקספוננציאלית הזו על ידי חלוקת 120,000 ב- 6. זה לא-לא-מתמטיקה מפתה.

1. להשתמש סדר פעולות לפשט.

א(1 +.08)⁶ = 120,000
א(1.08)⁶ = 120,000 (Parenthesis)
א(1.586874323) = 120,000 (אקספקטנט)

2. לפתור על ידי חלוקה

א(1.586874323) = 120,000
א(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1א = 75,620.35523
א = 75,620.35523

הסכום המקורי שיש להשקיע הוא 75,620.36 $.

3. להקפיא - עדיין לא סיימת. השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.

120,000 = א(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (תמצית)
120,000 = 75,620.35523 (1.586874323) (אקספקטנט)
120,000 = 120,000 (כפל)

גיליון עבודה מקורי

איכר וחברים
השתמש במידע על אתר הרשתות החברתיות של האיכר כדי לענות על שאלות 1-5.

חקלאי הקים אתר ברשת חברתית, farmerandriends.org, המשתף עם עצות לגינון בחצר האחורית. כאשר boerandriends.org אפשר לחברים לפרסם תמונות וסרטונים, החברות באתר גדלה באופן אקספוננציאלי. הנה פונקציה המתארת ​​את הצמיחה האקספוננציאלית.

120,000 = א(1 + .40)⁶

1. כמה אנשים שייכים ל- boerandriends.org 6 חודשים לאחר שאיפשר שיתוף תמונות ושיתוף וידאו? 120,000 איש
   השווה פונקציה זו לפונקציית הצמיחה האקספוננציאלית המקורית:
   120,000 = א(1 + .40)⁶
   y = א(1 +ב)^איקס
   הסכום המקורי, y, הוא 120,000 בפונקציה זו בנושא רשתות חברתיות.
2. האם פונקציה זו מייצגת צמיחה או ריקבון מעריכי? פונקציה זו מייצגת צמיחה מעריכית משתי סיבות. סיבה 1: פיסקת המידע מגלה כי "חברות האתר גדלה באופן אקספוננציאלי." סיבה 2: סימן חיובי נמצא ממש לפני ב, השינוי באחוז החודשי.
3. מהי העלייה או הירידה החודשית באחוזים? העלייה החודשית באחוזים היא 40% .40 נכתב כאחוז.
4. כמה חברים השתייכו ל- boerandriends.org לפני 6 חודשים, ממש לפני שהוצגו שיתוף תמונות ושיתוף וידאו? כ- 15,937 חברים
   השתמש בסדר פעולות כדי לפשט.
   120,000 = א(1.40)⁶
   120,000 = א(7.529536)
   מחלקים לפתור.
   120,000/7.529536 = א(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1א
   15,937.23704 = א
   השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. אם טרנדים אלה יימשכו, כמה חברים ישייכו לאתר 12 חודשים לאחר הצגת שיתוף תמונות ושיתוף וידיאו? כ 903,544 חברים
   חבר את מה שאתה יודע על הפונקציה. זכור, הפעם יש לך אהסכום המקורי. אתה פותר עבור y, הסכום שנותר בסוף תקופת זמן.
   y = א(1 + .40)^איקס
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   השתמש בסדר הפעולות כדי למצוא y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203