גליון עבודה לחוסר השוויון של צ'בישוב

אי השוויון של צ'בישב אומר שלפחות 1 -1 /ק² נתונים מדגם חייבים ליפול קסטיות תקן מ ה מתכוון, איפהק הוא חיובי מספר ממשי גדול מאחד. המשמעות היא שאיננו צריכים לדעת את צורת הפצת הנתונים שלנו. עם רק ממוצע סטיית התקן, אנו יכולים לקבוע את כמות הנתונים שמספר מסוים של סטיות תקן מהממוצע.

להלן כמה בעיות לתרגול באמצעות אי השוויון.

מחלקה של תלמידי כיתה ב 'גובה ממוצע של מטר וחצי עם סטיית תקן של סנטימטר. לפחות איזה אחוז מהכיתה צריך להיות בין 4-10 "ו -5"?

הגבהים הניתנים בטווח שלמעלה נמצאים בשתי סטיות תקן מהגובה הממוצע של מטר וחצי. אי השוויון של צ'בישב אומר שלפחות 1 - 1/2² = 3/4 = 75% מהכיתה נמצא בטווח הגובה הנתון.

מחשבים מחברה מסוימת נמצאים בממוצע שלוש שנים ללא תקלה בחומרה, עם סטיית תקן של חודשיים. לפחות איזה אחוז מהמחשבים נמשך בין 31 חודשים ל 41 חודשים?

אורך החיים הממוצע של שלוש שנים תואם 36 חודשים. הזמנים של 31 חודשים עד 41 חודשים הם כל 5/2 = 2.5 סטיות תקן מהממוצע. על ידי אי השוויון של צ'בישב, לפחות 1 - 1 / (2.5) 6² = 84% מהמחשבים נמשכים בין 31 חודשים ל 41 חודשים.

חיידקים בתרבות חיים למשך שלוש שעות בממוצע עם סטיית תקן של 10 דקות. לפחות איזה חלק מהחיידק חי בין שעתיים לארבע שעות?

שעתיים וארבע שעות מרוחקות כשעה מהממוצע. שעה אחת תואמת שש סטיות תקן. אז לפחות 1 - 1/6² = 35/36 = 97% מהחיידקים חיים בין שעתיים לארבע שעות.

מה המספר הקטן ביותר של סטיות תקן מהמשמעות שעלינו לעבור אם אנו רוצים להבטיח שיש לנו לפחות 50% מנתוני הפצה?

כאן אנו משתמשים באי-שוויון של צ'בישב ועובדים לאחור. אנו רוצים 50% = 0.50 = 1/2 = 1 - 1 /ק². המטרה היא להשתמש באלגברה לפתרון ק.

אנו רואים ש 1/2 = 1 /ק². חצו להכפיל וראו ש -2 =ק². אנו לוקחים את השורש המרובע משני הצדדים, ומאז ק היא מספר סטיות תקן, אנו מתעלמים מהפתרון השלילי למשוואה. זה מראה ש ק שווה לשורש הריבועי של שניים. כך שלפחות 50% מהנתונים נמצאים בכ -1.4 סטיות תקן מהממוצע.

מסלול אוטובוס מספר 25 אורך זמן ממוצע של 50 דקות עם סטיית תקן של 2 דקות. פוסטר לקידום מכירות למערכת אוטובוס זו קובע כי "95% מתוואי הזמן מספר 25 נמשך בין ____ ל- _____ דקות." עם אילו מספרים היית ממלא את החסר?

שאלה זו דומה לשאלה האחרונה בה אנו צריכים לפתור ק, מספר סטיות התקן מהממוצע. התחל בהגדרת 95% = 0.95 = 1 - 1 /ק². זה מראה כי 1 - 0.95 = 1 /ק². פשט לראות ש- 1 / 0.05 = 20 = ק². כך ק = 4.47.

כעת הביעו זאת בתנאים לעיל. לפחות 95% מכלל הרכיבות הן 4.47 סטיות תקן מהזמן הממוצע של 50 דקות. הכפל 4.47 בסטיית התקן של 2 בסופו של דבר עם תשע דקות. אז 95% מהזמן, מסלול אוטובוס 25 לוקח בין 41 ל 59 דקות.