מהי התפוצה הבינומית השלילית?

ההתפלגות הבינומית השלילית היא א חלוקת הסתברויות המשמשת עם משתנים אקראיים נפרדים. תפוצה מסוג זה נוגעת למספר הניסויים שחייבים להתרחש בכדי לקבל מספר הצלחות שנקבע מראש. כפי שנראה, ההתפלגות הבינומית השלילית קשורה ל התפלגות הבינומית. בנוסף, התפלגות זו כללית את ההתפלגות הגיאומטרית.

נתחיל בהסתכלות הן על התפאורה והן על התנאים המולידים חלוקה בינומית שלילית. רבים מהתנאים הללו דומים מאוד לתפאורה דו-ביומית.

1. יש לנו ניסוי של ברנולי. המשמעות היא שלכל ניסוי שאנו מבצעים יש הצלחה וכישלון מוגדרים היטב ואלו התוצאות היחידות.
2. ההסתברות להצלחה היא קבועה ולא משנה כמה פעמים אנו מבצעים את הניסוי. אנו מציינים את ההסתברות הקבועה הזו עם א ע.
3. הניסוי חוזר על עצמו במשך איקס ניסויים עצמאיים, כלומר לתוצאת ניסוי אחד אין השפעה על תוצאות המשפט שלאחר מכן.

שלושת התנאים הללו זהים לאלה שנמצאים בתפוצה בינומית. ההבדל הוא שלמשתנה אקראי בינומי יש מספר קבוע של ניסויים n. הערכים היחידים של איקס הם 0, 1, 2,..., n, אז זו תפוצה סופית.

התפלגות בינומית שלילית עוסקת במספר הניסויים איקס זה חייב להתרחש עד שיהיה לנו r הצלחות. המספר r הוא מספר שלם שאנחנו בוחרים לפני שאנחנו מתחילים לבצע את הניסויים שלנו. המשתנה האקראי

כדי לעזור להבין את התפוצה הבינומית השלילית, כדאי לקחת בחשבון דוגמה. נניח שאנחנו מחליפים מטבע הוגן ונשאל את השאלה, "מה ההסתברות שנקבל שלושה ראשים בראשון איקס מטבעות מטלפים? "זה מצב הקורא להתפלגות בינומית שלילית.

להטבעות המטבע שתי תוצאות אפשריות, ההסתברות להצלחה היא 1/2 קבועה, והניסויים הם אינם תלויים זה בזה. אנו מבקשים את ההסתברות לקבל את שלושת הראשים הראשונים אחריו איקס מטבעות מטבעות. לכן עלינו להפוך את המטבע לפחות שלוש פעמים. לאחר מכן אנו ממשיכים לדפדף עד להופעת הראש השלישי.

כדי לחשב הסתברויות הקשורות להתפלגות בינומית שלילית, אנו זקוקים למידע נוסף. עלינו לדעת את תפקוד מסת ההסתברות.

ניתן לפתח את פונקציית מסת ההסתברות להתפלגות בינומית שלילית בעזרת מעט מחשבה. לכל ניסוי יש הסתברות להצלחה שניתנה על ידי ע. מכיוון שיש רק שתי תוצאות אפשריות, פירוש הדבר שההסתברות לכישלון היא קבועה (1 - ע ).

ה rההצלחה חייבת להתרחש עבור איקסהמשפט האחרון והסופי. הקודם איקס - ניסויים 1 חייבים להכיל בדיוק r - 1 הצלחות. מספר הדרכים שזה יכול להתרחש ניתן על ידי מספר הצירופים:

ג (איקס - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

בנוסף לכל זה יש לנו אירועים עצמאיים וכך נוכל להכפיל את ההסתברויות שלנו יחד. בצירוף כל זה, אנו משיגים את פונקציית מסת ההסתברות

ו(איקס) = C (איקס - 1, r -1) ע^r(1 - ע)^{איקס - ר}.

אנו נמצאים כעת בעמדה להבין מדוע יש למשתנה אקראי זה חלוקה בינומית שלילית. ניתן לכתוב בצורה שונה את מספר השילובים בהם נתקלנו למעלה x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

כאן אנו רואים את הופעתו של מקדם בינומי שלילי, המשמש כאשר אנו מעלים ביטוי בינומי (a + b) לעוצמה שלילית.

חשוב לדעת את הממוצע של התפלגות מכיוון שזו דרך אחת לציין את מרכז ההתפוצה. הממוצע של סוג זה של משתנה אקראי ניתן בערכו הצפוי ושווה ל r / ע. אנו יכולים להוכיח זאת בזהירות באמצעות פונקצית יצירת רגעים להפצה זו.

אינטואיציה מנחה אותנו גם לביטוי זה. נניח שאנחנו מבצעים סדרת ניסויים n₁ עד שנקבל r הצלחות. ואז אנו עושים זאת שוב, רק שהפעם זה לוקח n₂ ניסויים. אנו ממשיכים זאת שוב ושוב, עד שיש לנו מספר גדול של קבוצות ניסויים נ = n₁ + n₂ +... +n_k.

כל אחד מאלה k הניסויים מכילים r הצלחות, וכך יש לנו סך של kr הצלחות. אם נ הוא גדול, אז היינו מצפים לראות בערך נ.פ. הצלחות. כך אנו משווים אלה יחד ויש לנו kr = Np.

אנחנו עושים קצת אלגברה ומגלים את זה N / k = r / p. החלק השמאלי בצד שמאל של משוואה זו הוא המספר הממוצע של הניסויים הנדרשים לכל אחד משלנו k קבוצות של ניסויים. במילים אחרות, זהו מספר הפעמים הצפוי לביצוע הניסוי כך שיש לנו בסך הכל r הצלחות. זו בדיוק הציפייה שאנו רוצים למצוא. אנו רואים שזה שווה לנוסחה r / p.

ניתן לחשב את השונות של ההתפלגות הבינומית השלילית באמצעות הפונקציה ליצירת הרגעים. כאשר אנו עושים זאת אנו רואים שהשונות של התפלגות זו ניתנת על ידי הנוסחה הבאה:

r (1 - ע)/ע²

הפונקציה ליצירת הרגע עבור סוג זה של משתנה אקראי מסובכת למדי. נזכיר כי פונקציית יצירת הרגע מוגדרת כערך הצפוי E [e^tX]. על ידי שימוש בהגדרה זו בתפקוד מסת ההסתברות שלנו, יש לנו:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] ה^tXע^r(1 - ע)^{איקס - ר}

אחרי אלגברה מסוימת זה הופך ל- M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) ה^t]^-ר

ראינו לעיל כיצד ההתפלגות הבינומית השלילית דומה במובנים רבים לתפוצה הבינומית. בנוסף לחיבור זה, ההתפלגות הבינומית השלילית היא גרסה כללית יותר של התפלגות גיאומטרית.

משתנה אקראי גיאומטרי איקס סופרת את מספר הניסויים הנחוצים לפני שההצלחה הראשונה מתרחשת. קל לראות שזו בדיוק ההתפלגות הבינומית השלילית, אבל עם r שווה לאחד.

קיימות ניסוחים אחרים של התפלגות הבנום השלילית. ספרי לימוד מסוימים מגדירים איקס להיות מספר הניסויים עד r כישלונות מתרחשים.

נתבונן בבעיה דוגמא כדי לראות כיצד לעבוד עם התפוצה הבינומית השלילית. נניח ששחקן כדורסל הוא קלע לזרוק חינם של 80%. יתר על כן, נניח שביצוע זריקת חינם אחת אינה תלויה בהפיכתה הבאה. מה ההסתברות שעבור שחקן זה הסל השמיני נעשה בזריקה חופשית עשירית?

אנו רואים שיש לנו הגדרה להפצה בינומית שלילית. ההסתברות הקבועה להצלחה היא 0.8, וכך ההסתברות לכישלון היא 0.2. אנו רוצים לקבוע את ההסתברות ל- X = 10 כאשר r = 8.

אנו מחברים ערכים אלה לפונקציית מסת ההסתברות שלנו:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0.8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², שהם בערך 24%.

לאחר מכן נוכל לשאול מה המספר הממוצע של זריקות עונשין חופשיות לפני ששחקן זה מכין שמונה מהן. מכיוון שהערך הצפוי הוא 8 / 0.8 = 10, זהו מספר הצילומים.