מה ההבדל בין שתי קבוצות בתורת הקבוצות?

ההבדל בין שתי קבוצות, כתוב א - ב הוא הסט של כל האלמנטים של א שאינם אלמנטים של ב. פעולת ההבדל, יחד עם איחוד וצומת, היא פעולה חשובה פעולת תורת הקבוצות הבסיסית.

ניתן לחשוב על חיסור של מספר אחד ממספר דרכים רבות ושונות. מודל אחד שיסייע בהבנת מושג זה נקרא מודל הניתוק של חיסור. בכך תודגם הבעיה 5 - 2 = 3 על ידי התחלה בחמישה עצמים, הסרת שניים מהם וספירה שנשארו שלושה. באופן דומה שאנו מוצאים את ההבדל בין שני מספרים, אנו יכולים למצוא את ההבדל של שני קבוצות.

נבחן דוגמא להבדל שנקבע. לראות איך ההבדל בין שניים סטים יוצר סט חדש, בואו נשקול את הסטים א = {1, 2, 3, 4, 5} ו- ב = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. למצוא את ההבדל א - ב משתי מערכות אלה, נתחיל בכתיבת כל האלמנטים של אואז תסלק את כל האלמנטים של א זה גם מרכיב של ב. מאז א חולק עם האלמנטים 3, 4 ו -5 ב, זה נותן לנו את ההבדל שנקבע א - ב = {1, 2}.

כמו שההבדלים 4 - 7 ו- 7 - 4 נותנים לנו תשובות שונות, כך עלינו להקפיד על הסדר בו אנו מחשבים את ההבדל שנקבע. כדי להשתמש במונח טכני מתמטיקה, היינו אומרים שהפעולה המוגדרת של ההבדל אינה תקיפה. משמעות הדבר היא שבאופן כללי איננו יכולים לשנות את סדר ההפרש של שתי מערכות ולצפות לאותה תוצאה. אנו יכולים לקבוע באופן מדויק יותר את כל הקבוצות

כדי לראות זאת, חזור לדוגמא שלמעלה. חישבנו את זה עבור הסטים א = {1, 2, 3, 4, 5} ו- ב = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, ההבדל א - ב = {1, 2 }. כדי להשוות את זה ל ב - א, אנו מתחילים באלמנטים של בשהם 3, 4, 5, 6, 7, 8 ואז הסירו את 3, 4 ו- 5 כיוון שהם משותפים ל א. התוצאה היא ב - א = {6, 7, 8 }. דוגמה זו מראה לנו בבירור א - ב אינו שווה ל ב - א.

הבדל מסוג אחד חשוב מספיק כדי להצדיק את שמו והסמל המיוחד לו. זה נקרא השלמה, והוא משמש להבדל שנקבע כאשר סט ראשון היא הסט האוניברסלי. ההשלמה של א ניתן על ידי הביטוי U - א. הכוונה לסט של כל האלמנטים בערכה האוניברסלית שאינם אלמנטים של א. מכיוון שמובן כי סט אלמנטים שאנחנו יכולים לבחור נלקחים מהסט האוניברסלי, אנחנו יכולים פשוט לומר שהשלמה של א הוא הסט המורכב מאלמנטים שאינם אלמנטים של א.

ההשלמה של סט היא יחסית לסט האוניברסלי שאיתו אנו עובדים. עם א = {1, 2, 3} ו- U = {1, 2, 3, 4, 5}, השלמה של א הוא {4, 5}. אם הסט האוניברסלי שלנו שונה, נניח U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, ואז השלמה של א {-3, -2, -1, 0}. הקפד תמיד לשים לב לאיזה סט אוניברסלי משתמשים.

המילה "השלמה" מתחילה באות ג ', וכך משתמשים בה בציון. השלמת הסט א כתוב כ א^ג. כך שנוכל לבטא את הגדרת התוסף בסמלים כ: א^ג = U - א.

דרך נוספת המשמשת בדרך כלל לציון השלמה של סט כוללת אפוסטרופה, והיא נכתבת כ א'.

ישנן זהויות מוגדרות רבות הכרוכות בשימוש בהבדל ומשלימות פעולות. יש זהויות שמשלבות פעולות מוגדרות אחרות כגון צומת ו איחוד. להלן כמה מהחשובים יותר. לכל הסטים א, ו ב ו ד יש לנו:

• א - א =∅
• א - ∅ = א
• ∅ - א = ∅
• א - U = ∅
• (א^ג)^ג = א
• חוק DeMorgan I: (א ∩ ב)^ג = א^ג ∪ ב^ג
• חוק DeMorgan II: (א ∪ ב)^ג = א^ג ∩ ב^ג