חישוב מומנט בעזרת דוגמאות

כאשר בוחנים כיצד חפצים מסתובבים, מתברר במהירות להבין כיצד כוח נתון מביא לשינוי בתנועת הסיבוב. נקראת הנטייה של כוח לגרום או לשנות תנועה סיבובית מומנט, וזה אחד המושגים החשובים ביותר שיש להבין בפתרון מצבי תנועה סיבוביים.

מומנט (נקרא גם רגע - לרוב על ידי מהנדסים) מחושב על ידי הכפלת הכוח והמרחק. ה יחידות SI של מומנט הם מטר ניוטון, או N * מ '(למרות שהיחידות הללו זהות לג'ול, מומנט אינו פועל או אנרגיה, ולכן צריך להיות פשוט מטר ניוטון).

בחישובים, מומנט מיוצג על ידי האות היוונית טאו: τ.

מומנט הוא א וקטור כמות, כלומר יש לזה גם כיוון וגם גודל. זה בכנות אחד החלקים הקשים ביותר בעבודה עם מומנט מכיוון שהוא מחושב באמצעות מוצר וקטורי, מה שאומר שאתה צריך להחיל את הכלל הימני. במקרה זה, קחו את יד ימין וסלסלו את אצבעות כף היד לכיוון הסיבוב שנגרם על ידי הכוח. האגודל של יד ימין מצביע כעת לכיוון של וקטור המומנט. (זה יכול מדי פעם להרגיש מעט מטופש, כשאתה מרים את היד למעלה ופנטומימינג כדי להבין את התוצאה של משוואה מתמטית, אבל זו הדרך הטובה ביותר לדמיין את כיוון ה- וקטור.)

הנוסחה הווקטורית שמניבה את וקטור המומנט τ הוא:

τ = r × ו

הווקטור r הוא וקטור המיקום ביחס למקור בציר הסיבוב (ציר זה הוא τ על הגרפיקה). זהו וקטור עם גודל המרחק שממנו מופעל הכוח על ציר הסיבוב. הוא מצביע מציר הסיבוב לעבר הנקודה בה מופעל הכוח.

גודל הווקטור מחושב על סמך θ, שהוא ההבדל בזווית שבין r ו ובאמצעות הנוסחה:

τ = rFחטא(θ)

כמה נקודות מפתח לגבי המשוואה לעיל, עם כמה ערכי מידה של θ:

• θ = 0 ° (או 0 רדיאנים) - וקטור הכוח מצביע בכיוון זהה r. כפי שאפשר לנחש, זהו מצב בו הכוח לא יגרום לסיבוב כלשהו סביב הציר... והמתמטיקה מבצעת את זה. מכיוון שחטא (0) = 0, מצב זה מוביל ל τ = 0.
• θ = 180 ° (או π רדיאנים) - זהו מצב בו וקטור הכוח מצביע ישירות לתוכו r. שוב, דחיפה לכיוון ציר הסיבוב גם לא תגרום לסיבוב ושוב, המתמטיקה תומכת באינטואיציה זו. מכיוון שחטא (180 °) = 0, ערך המומנט הוא שוב τ = 0.
• θ = 90 ° (או π/ 2 רדיאנים) - כאן, וקטור הכוח ניצב לווקטור המיקום. זה נראה כמו הדרך היעילה ביותר שאתה יכול לדחוף על האובייקט כדי להשיג עלייה בסיבוב, אך האם המתמטיקה תומכת בכך? ובכן, sin (90 °) = 1, שהוא הערך המקסימאלי אליו יכולה פונקצית הסינוס להגיע, ומניב תוצאה של τ = rF. במילים אחרות, כוח המופעל בכל זווית אחרת יספק פחות מומנט מאשר כאשר הוא מופעל ב 90 מעלות.
• טענה זהה לעיל חלה על מקרים של θ = -90 ° (או -π/ 2 רדיאנים), אך עם ערך חטא (-90 °) = -1 וכתוצאה מכך המומנט המרבי בכיוון ההפוך.

הבה נבחן דוגמא שבה אתה מפעיל כוח אנכי כלפי מטה, למשל כשמנסים לשחרר את האומים על צמיג שטוח על ידי דריכה על מפתח הברגים. במצב זה, המצב האידיאלי הוא כי מפתח הברגים אופקי לחלוטין, כך שתוכלו לדרוך בקצהו ולקבל את המומנט המרבי. למרבה הצער, זה לא עובד. במקום זאת, מפתח הברגים נע בין אגוזי המזוודות כך שהוא נמצא בשיפוע של 15% לאופק. אורך מפתח הברגים הוא 0.60 מ 'עד הסוף, שם אתה מוריד את משקלו המלא של 900 נ'.

מה גודל המומנט?

מה לגבי כיוון ?: החלת הכלל "שמאלי-רופף, סגרירי", תרצה שאום האגף יסתובב שמאלה - נגד כיוון השעון - כדי לשחרר אותו. בעזרת היד הימנית ומסלסל את האצבעות בכיוון נגד כיוון השעון, האגודל מבצבץ. אז כיוון המומנט רחוק מהצמיגים... וזה גם הכיוון אליו תרצו שבסופו של דבר.

כדי להתחיל בחישוב ערך המומנט, עליכם להבין שיש נקודה מטעה מעט במערך שלמעלה. (זו בעיה שכיחה במצבים אלה.) שים לב ש -15% שהוזכרו לעיל הם השיפוע מהאופק, אבל זה לא הזווית θ. הזווית בין r ו ו צריך לחשב. ישנו שיפוע של 15 מעלות מהאופק פלוס מרחק של 90 מעלות מהווקטוריאלי עד וקטור הכוח כלפי מטה, וכתוצאה מכך 105 ° כערך של θ.

זה המשתנה היחיד שדורש הגדרה, כך שעם זה במקום אנו פשוט מקצים את שאר הערכים המשתנים:

• θ = 105°
• r = 0.60 מ '
• ו = 900 N

τ = rF חטא(θ) =
(0.60 מ ') (900 נ') sin (105 מעלות) = 540 × 0.097 ננומטר = 520 ננומטר

שים לב שהתשובה לעיל הייתה כרוכה בשמירה על שניים בלבד נתונים משמעותיים, כך שהוא מעוגל.

המשוואות שלעיל מועילות במיוחד כשיש כוח ידוע אחד הפועל על חפץ, אך ישנם כאלה מצבים רבים בהם סיבוב יכול להיגרם על ידי כוח שלא ניתן למדוד בקלות (או אולי רבים כאלה כוחות). כאן, המומנט לא מחושב ישירות, אלא ניתן לחשב אותו בהתייחס לסך הכל תאוצה זוויתית, α, שהעצם עובר. קשר זה ניתן על ידי המשוואה הבאה:

• Στ - הסכום הנקי של כל המומנט הפועל על העצם
• אני - ה רגע האינרציההמייצג את ההתנגדות של האובייקט לשינוי במהירות הזוויתית
• α - תאוצה זוויתית