מהי ההגדרה של ממוצע מתמטי?

במתמטיקה וסטטיסטיקה, הממוצע מתייחס לסכום קבוצת הערכים המחולקת על ידי n, איפה n הוא מספר הערכים בקבוצה. ממוצע ידוע גם כ- מתכוון.

כמו חציון וה מצב, הממוצע הוא מדד לנטייה מרכזית, כלומר הוא משקף ערך אופייני בערכה נתונה. משתמשים בממוצעים באופן קבוע למדי כדי לקבוע ציונים סופיים במשך מונח או סמסטר. הממוצעים משמשים גם כמדדי ביצועים. לדוגמה, ממוצעים של עטלפים מבטאים את התדירות שבה נגן בייסבול פוגע כשהוא עומד לעטוף. קילומטראז 'גז מבטא עד כמה בדרך כלל רכב יעבור על ליטר דלק.

במובנו המובהק ביותר, הממוצע מתייחס לכל מה שנחשב לנפוץ או טיפוסי.

ממוצע מתמטי מחושב על ידי לקיחת הסכום של קבוצת ערכים וחלוקתו במספר הערכים בקבוצה. זה ידוע גם כמשמעות אריתמטית. (אמצעים אחרים, כגון אמצעים גיאומטריים והרמוניים, מחושבים באמצעות המוצר וההדדיות של הערכים ולא הסכום).

עם מערך קטן של ערכים, חישוב הממוצע נדרש רק כמה צעדים פשוטים. לדוגמא, בואו נדמיין שאנחנו רוצים למצוא את הגיל הממוצע בקרב קבוצה של חמישה אנשים. הגילאים שלהם הם 12, 22, 24, 27, 35. ראשית, אנו מוסיפים ערכים אלה כדי למצוא את הסכום שלהם:

• 12 + 22 + 24 + 27 + 35 = 120

אז ניקח את הסכום הזה ונחלק אותו במספר הערכים (5):

• 120 ÷ 5 = 24

התוצאה, 24, היא הגיל הממוצע של חמשת האנשים.

הממוצע, או הממוצע, אינו המדד היחיד לנטייה מרכזית, אם כי הוא אחד הנפוצים ביותר. המדדים הנפוצים האחרים הם החציון והמצב.

החציון הוא הערך האמצעי בערכה נתונה, או הערך המפריד בין המחצית הגבוהה לחצי התחתון. בדוגמה לעיל, הגיל החציוני בקרב חמשת הפרטים הוא 24, הערך הנופל בין המחצית הגבוהה (27, 35) למחצית התחתונה (12, 22). במקרה של מערך נתונים זה החציון והממוצע זהים, אך זה לא תמיד המקרה. לדוגמה, אם האדם הצעיר בקבוצה היה 7 במקום 12, הגיל הממוצע היה 23. עם זאת, החציון עדיין יהיה 24.

עבור סטטיסטיקאים, החציון יכול להיות מדד שימושי מאוד, במיוחד כאשר מערך נתונים מכיל מחיצים, או ערכים השונים מאוד מערכים אחרים בקבוצה. בדוגמה שלמעלה, כל האנשים נמצאים בתוך 25 שנה זה מזה. אבל מה אם זה לא היה המקרה? מה אם האדם הבכור היה בן 85 במקום 35? מגדיל זה יביא את הגיל הממוצע ל -34, ערך הגבוה מ- 80 אחוז מהערכים בערכה. בגלל מתווה זה, הממוצע המתמטי כבר אינו ייצוג טוב של הגילאים בקבוצה. החציון של 24 הוא מדד טוב בהרבה.

המצב הוא הערך השכיח ביותר בקבוצת נתונים, או זה הסביר ביותר להופיע במדגם סטטיסטי. בדוגמה שלמעלה, אין מצב שכן כל ערך אינדיבידואלי הוא ייחודי. במדגם גדול יותר של אנשים, עם זאת, סביר להניח שישנם אנשים מרובים באותו גיל, והגיל השכיח ביותר יהיה המצב.

בממוצע רגיל, כל ערך בערכת נתונים נתונה מטופל באופן שווה. במילים אחרות, כל ערך תורם לא פחות מהאחרים לממוצע הסופי. ב ממוצע משוקללעם זאת, לערכים מסוימים יש השפעה רבה יותר על הממוצע הסופי בהשוואה לאחרים. לדוגמה, דמיין תיק מניות המורכב משלושה מניות שונות: מלאי A, מלאי B ומלאי C. בשנה האחרונה, שוויו של מלאי A צמח ב -10 אחוזים, שוויו של מלאי B צמח ב -15 אחוז, ושווי של מלאי C צמח ב -25 אחוזים. אנו יכולים לחשב את הגידול הממוצע באחוזים על ידי הוספת ערכים אלה וחלוקתם בשלושה. אבל זה רק יגיד לנו את הצמיחה הכללית של התיק אם הבעלים החזיק בכמויות שוות של מלאי A, מלאי B ומלאי C. רוב התיקים מכילים כמובן תמהיל של מניות שונות, חלקן מהוות אחוזים גדולים יותר מהתיק מאשר אחרות.

כדי למצוא את הצמיחה הכוללת של התיק, עלינו לחשב ממוצע משוקלל על סמך כמה מכל מניות מוחזקות בתיק. לשם הדוגמא, נגיד שמלאי א 'מהווה 20 אחוז מהתיק, מניות ב' מהווה 10 אחוזים, ומלאי ג 'מהווה 70 אחוז.

אנו משקללים כל ערך צמיחה על ידי הכפלתו באחוז התיק שלו:

• מלאי A = צמיחה של 10 אחוזים x 20 אחוז מהתיק = 200
• מלאי B = צמיחה של 15 אחוז x 10 אחוז מהתיק = 150
• מלאי C = 25 אחוז צמיחה x 70 אחוז מהתיק = 1750

לאחר מכן אנו מוסיפים את הערכים המשוקללים הללו ומחלקים אותם בסכום הערכים של אחוזי התיק:

• (200 + 150 + 1750) ÷ (20 + 10 + 70) = 21

התוצאה, 21 אחוז, מייצגת את הצמיחה הכוללת של התיק. שימו לב שהוא גבוה מהממוצע של שלושת ערכי הצמיחה בלבד - 16.67 - וזה הגיוני לאור העובדה שהמניה בעלת הביצועים הגבוהים ביותר מהווה גם את חלק הארי של התיק.