הגדר תיאוריה וכיצד משתמשים בה

תורת הקבוצות היא מושג יסודי בכל מתמטיקה. ענף מתמטיקה זה מהווה בסיס לנושאים אחרים.

סט אינטואיטיבי הוא אוסף של חפצים, המכונים אלמנטים. למרות שזה נראה כמו רעיון פשוט, יש לזה כמה השלכות מרחיקות לכת.

האלמנטים של סט יכולים באמת להיות כל דבר - מספרים, מצבים, מכוניות, אנשים או אפילו סטים אחרים הם כולם אפשרויות עבור אלמנטים. כמעט כל דבר שניתן לאסוף יחד עשוי לשמש ליצירת ערכה, אם כי ישנם כמה דברים שעלינו להקפיד עליהם.

אלמנטים של סט הם בערכה או לא בסט. אנו עשויים לתאר קבוצה על ידי מאפיין שמגדיר, או שנרשום את האלמנטים בערכה. הסדר שהם רשומים אינו חשוב. אז הסטים {1, 2, 3} ו- {1, 3, 2} הם קבוצות שוות, מכיוון ששניהם מכילים אותם אלמנטים.

שתי סטים ראויים לאזכור מיוחד. הראשון הוא הסט האוניברסלי, המצוין בדרך כלל U. סט זה הוא כל האלמנטים שאנו יכולים לבחור מהם. ערכה זו עשויה להיות שונה מהגדרה אחת לאחרת. לדוגמה, קבוצה אוניברסלית אחת עשויה להיות הסט של מספרים אמיתיים ואילו לבעיה אחרת המערך האוניברסלי עשוי להיות המספרים השלמים {0, 1, 2, ...}.

הסט האחר שדורש תשומת לב מסוימת נקרא

אוסף של כמה מרכיבי הסט א נקרא א תת-קבוצה של א. אנחנו אומרים את זה א היא תת קבוצה של ב אם ורק אם כל מרכיב של א הוא גם מרכיב של ב. אם יש מספר סופי n של אלמנטים בערכה, אז יש בסך הכל 2ⁿ קבוצות משנה של א. אוסף זה של כל קבוצות המשנה של א הוא סט שנקרא סט כוח של א.

בדיוק כמו שאנו יכולים לבצע פעולות כמו תוספת - על שני מספרים כדי להשיג מספר חדש, פעולות תורת הקבוצות משמשות ליצירת קבוצה משתי קבוצות אחרות. יש מספר פעולות, אך כמעט כולן מורכבות משלוש הפעולות הבאות:

• איחוד - איחוד מסמל קירוב. איחוד הסטים א ו ב מורכב מהאלמנטים שנמצאים באחד מהם א או ב.
• צומת - צומת הוא המקום בו שני דברים נפגשים. צומת הסטים א ו ב מורכב מהיסודות שבשניהם א ו ב.
• השלמה - השלמת הסט א מורכב מכל האלמנטים בערכה האוניברסלית שאינם אלמנטים של א.

כלי אחד שמועיל בתיאור הקשר בין מערכות שונות נקרא תרשים Venn. מלבן מייצג את הסט האוניברסלי לבעייתנו. כל קבוצה מיוצגת עם מעגל. אם המעגלים חופפים זה לזה, אז זה ממחיש את הצומת של שתי הסטים שלנו.

תורת הקבוצות משמשת בכל המתמטיקה. הוא משמש כבסיס לתחומי משנה רבים של מתמטיקה. באזורים הנוגעים לסטטיסטיקה משתמשים בו במיוחד בהסתברות. חלק גדול מהמושגים בהסתברות נגזרים מההשלכות של תורת הקבוצות. אכן, דרך אחת להצהיר על אקסיומות של הסתברות כרוך בתורת הקבוצות.