כיצד לגזור את הנוסחה לשילובים

אחרי שראיתי נוסחאות המודפסות בספר לימוד או שנכתבו על הלוח על ידי מורה, זה מפתיע לפעמים כדי לגלות שרבים מנוסחאות אלה ניתנות להגדרה מכמה הגדרות מהותיות ומחשבה זהירה. זה נכון במיוחד בהסתברות כאשר בוחנים את הנוסחה לצירופים. נגזרת הנוסחה הזו מסתמכת רק על עקרון הכפל.

נניח שיש משימה לבצע ומשימה זו מחולקת לסך הכל שני שלבים. ניתן לבצע את הצעד הראשון ב- k דרכים ואת הצעד השני ניתן לעשות ב n דרכים. המשמעות היא שאחרי כפל המספרים הללו יחד, מספר הדרכים לביצוע המשימה הוא nk.

לדוגמה, אם יש לך עשרה סוגים של גלידה לבחירה ושלושה טופינגים שונים, כמה סקופ אחד, סנדות עם ציפוי אחד שתוכלו להכין? הכפל שלוש ב -10 כדי לקבל 30 סועדים.

כעת, השתמש בעקרון הכפל כדי לגזור את הנוסחה למספר השילוב של r אלמנטים הלקוחים מתוך סט של n אלמנטים. לתת P (n, r) מציין את המספר של פרמוטציות של r אלמנטים מתוך סט של n ו C (n, r) מציין את מספר הצירופים של r אלמנטים מתוך סט של n אלמנטים.

חשוב על מה שקורה בעת יצירת תמורה של r אלמנטים מתוך סך הכל n. ראו זאת כתהליך דו-שלבי. ראשית, בחר קבוצה של r אלמנטים מתוך סט של n

לסכם מחדש, ע(n,r ), מספר הדרכים ליצור פרמוטציה של r אלמנטים מתוך סך הכל n נקבע על ידי:

1. יוצרים שילוב של r אלמנטים מתוך סך הכל n באף אחד מ ג(n,r ) דרכים
2. מזמין אלה r אלמנטים מכל אחד מהם r! דרכים.

לפי עקרון הכפל, מספר הדרכים ליצור פרמוטציה הוא ע(n,r ) = ג(n,r ) איקס r!.

שימוש בנוסחה לפרמוטציות ע(n,r ) = n!/(n - r)!, שניתן להחליף לנוסחה שלמעלה:

n!/(n - r)! = ג(n,r ) r!.

עכשיו תפתור את זה, את מספר השילובים, ג(n,r ), ולראות את זה ג(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

כפי שהודגם, קצת מחשבה ואלגברה יכולות לעשות דרך ארוכה. ניתן לגזור נוסחאות אחרות בהסתברות וסטטיסטיקות בעזרת יישומים זהירים של הגדרות.