פונקצית יצירת רגעים להפצה בינומית

הממוצע והשונות של משתנה אקראי איקס עם חלוקת הסתברות בינומית יכול להיות קשה לחישוב ישירות. למרות שזה יכול להיות ברור מה צריך לעשות בשימוש בהגדרת ה- ערך צפוי של איקס ו איקס², ביצוע הצעדים בפועל הוא הלהטוטים מסובכים של אלגברה וסיכומים. דרך חלופית לקביעת הממוצע והשונות של א התפלגות הבינומית הוא להשתמש ב- פונקצית יצירת רגעים ל איקס.

התחל עם המשתנה האקראי איקס ותאר את חלוקת הסתברויות באופן יותר ספציפי. ביצוע n ניסויים ברנולי עצמאיים, שלכל אחד מהם הסתברות להצלחה ע והסתברות לכישלון 1 - ע. לפיכך פונקצית מסת ההסתברות היא

ו (איקס) = ג(n, איקס)ע^איקס(1 – ע)^{n - איקס}

הנה המונח ג(n, איקס) מציין את מספר הצירופים של n אלמנטים שצולמו איקס בכל פעם, ו איקס יכול לקחת את הערכים 0, 1, 2, 3..., n.

השתמש בפונקציה מסת מסתית זו כדי להשיג את הפונקציה המייצרת את הרגע של איקס:

M(t) = Σ_{איקס = 0}ⁿה^txג(n,איקס)>)ע^איקס(1 – ע)^{n - איקס}.

מתברר שאתה יכול לשלב את המונחים עם אקספקטנט של איקס:

M(t) = Σ_{איקס = 0}ⁿ (pe^t)^איקסג(n,איקס)>)(1 – ע)^{n - איקס}.

יתר על כן, באמצעות הנוסחה הבינומית, הביטוי שלעיל הוא פשוט:

M(t) = [(1 – ע) + pe^t]ⁿ.

על מנת למצוא את מתכוון ושונות, תצטרך לדעת את שניהם M'(0) ו- M’’(0). התחל בחישוב הנגזרים שלך ואז הערך כל אחד מהם בכתובת t = 0.

תראה שהנגזרת הראשונה של פונקציית יצירת הרגע היא:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – ע) + pe^t]^{n - 1}.

מכאן תוכלו לחשב את הממוצע של התפלגות ההסתברות. M(0) = n(pe⁰)[(1 – ע) + pe⁰]^{n - 1} = np. זה תואם את הביטוי שקיבלנו ישירות מהגדרת הממוצע.

חישוב השונות מבוצע באופן דומה. ראשית, נבדל שוב בין הפונקציה ליצירת הרגע ואז אנו מעריכים את הנגזרת הזו ב t = 0. כאן תראו את זה

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – ע) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – ע) + pe^t]^{n - 1}.

כדי לחשב את השונות של משתנה אקראי זה עליכם למצוא M’’(t). כאן יש לך M’’(0) = n(n - 1)ע² +np. השונות σ² מההפצה שלך היא

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)ע² +np - (np)² = np(1 - ע).

למרות ששיטה זו מעורבת במידה מסוימת, היא לא מסובכת כמו לחשב את הממוצע והשונות ישירות מתפקוד מסת ההסתברות.