הסתברות מותנית: סימון ודוגמאות

דוגמה ישירה ל מותנה הסתברות היא ההסתברות שכרטיס שנמשך מחפיסת קלפים סטנדרטית הוא מלך. יש בסך הכל ארבעה מלכים מתוך 52 קלפים, ולכן ההסתברות היא פשוט 4/52. הקשורה לחישוב זה היא השאלה הבאה: "מה ההסתברות שאנו מושכים מלך בהתחשב בזה כבר שלפנו כרטיס מהסיפון וזה אס? "כאן אנו שוקלים את תוכן הסיפון של קלפים. ישנם עדיין ארבעה מלכים, אך כעת יש רק 51 קלפים בסיפון. ההסתברות לשרטט מלך בהינתן שכבר נמשך אס היא 4/51.

הסתברות מותנית מוגדר כהסתברות לאירוע בהתחשב בכך שאירוע אחר התרחש. אם נקרא את האירועים האלה א ו ב, אז נוכל לדבר על ההסתברות ל א ניתן ב. אנו יכולים להתייחס גם להסתברות של א תלוי ב ב.

הסימון לסבירות מותנית משתנה בין ספר לימוד לספר לימוד. בכל ההערות, האינדיקציה היא שההסתברות אליה אנו מתכוונים תלויה באירוע אחר. אחד התווים הנפוצים ביותר להסתברות א ניתן ב הוא P (A | B). סימון נוסף המשמש הוא ע_ב(א).

יש נוסחה להסתברות מותנית המחברת זאת להסתברות של א ו ב:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

בעיקרון מה שנוסחה זו אומרת היא שכדי לחשב את ההסתברות המותנית לאירוע א בהתחשב באירוע ב, אנו משנים את שטח הדגימה שלנו כך שהוא מורכב רק מהסט

אנחנו יכולים להשתמש אלגברה לבטא את הנוסחה לעיל בצורה שונה:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

אנו נבדוק את הדוגמא בה התחלנו לאור מידע זה. אנו רוצים לדעת את ההסתברות לשרטט מלך בהתחשב בכך שכבר נמשך אס. כך האירוע א זה שאנחנו מציירים מלך. אירוע ב שאנחנו מציירים אס.

ההסתברות ששני האירועים קורים ואנחנו מציירים אס ואז מלך מתאים ל- P (A ∩ B). הערך של הסתברות זו הוא 12/2652. ההסתברות לאירוע ב, שצייר אס הוא 4/52. כך אנו משתמשים בנוסחת ההסתברות המותנית ורואים כי ההסתברות לשרטט מלך שניתן מאשר אס נמשך היא (16/2652) / (4/52) = 4/51.

לדוגמא נוספת, נסקור את הניסוי ההסתברותי בו אנו נמצאים מגלגלים שתי קוביות. שאלה שנוכל לשאול היא: "מה ההסתברות שגלגלנו שלשה בהתחשב בכך שגילגלנו סכום של פחות משישה?"

הנה האירוע א זה שגילמנו שלשה, ואת האירוע ב זה שגילגלנו סכום פחות משש. יש בסך הכל 36 דרכים לגלגל שתי קוביות. מתוך 36 דרכים אלו אנו יכולים לגלגל סכום הנמוך משש בעשרה דרכים:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

ישנם מקרים שבהם ההסתברות המותנית ל א בהתחשב באירוע ב שווה להסתברות של א. במצב זה אנו אומרים שהאירועים א ו ב אינם תלויים זה בזה. הנוסחה שלמעלה הופכת:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

ואנחנו משחזרים את הנוסחה שלגבי אירועים עצמאיים ההסתברות לשניהם א ו ב נמצא על ידי הכפלת ההסתברויות של כל אחד מהאירועים הבאים:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

כאשר שני אירועים אינם תלויים, פירוש הדבר שלאירוע אחד אין השפעה על האחר. הפיכת מטבע אחד ואז אחר היא דוגמה לאירועים עצמאיים. להעיף מטבעות אחד אין השפעה על השנייה.

הקפד מאוד לזהות איזה אירוע תלוי באחר. בכללי P (A | B) אינו שווה ל P (B | A). זו ההסתברות של א בהתחשב באירוע ב אינו זהה לסבירות של ב בהתחשב באירוע א.

בדוגמה לעיל ראינו שבגלגול שתי קוביות, ההסתברות לגלגל שלשה בהתחשב בכך שגלגלנו סכום של פחות משש היה 4/10. מצד שני, מה ההסתברות לגלגל סכום הנמוך משש בהתחשב בכך שגלגלנו שלשה? ההסתברות לגלגל שלשה וסכום פחות משישה היא 4/36. ההסתברות לגלגל לפחות שלשה אחת היא 11/36. אז ההסתברות המותנית במקרה זה היא (4/36) / (11/36) = 4/11.