מרווח ביטחון לאחוז אוכלוסייה

מרווחי אמון ניתן להשתמש בכדי להעריך מספר אוכלוסיות פרמטרים. סוג אחד של פרמטר שניתן להעריך באמצעות סטטיסטיקה היסקית הוא אחוז אוכלוסייה. לדוגמה, ייתכן שתרצה לדעת את אחוז האוכלוסייה בארה"ב התומכת בחוק מסוים. לגבי סוג זה של סוגיה, עלינו למצוא מרווח ביטחון.

במאמר זה נראה כיצד לבנות מרווח ביטחון לפרופורציה של אוכלוסייה, ונבחן חלק מהתיאוריה העומדת מאחורי זה.

אנו מתחילים להסתכל על התמונה הגדולה לפני שנכנס לפרטים הקטנים. סוג מרווח הביטחון שנשקול הוא מהצורה הבאה:

הערך +/- שולי טעות

המשמעות היא שיש שני מספרים שנצטרך לקבוע. ערכים אלה מהווים אומדן לפרמטר הרצוי, יחד עם מרווח השגיאה.

לפני ביצוע בדיקה או הליך סטטיסטי כלשהו, ​​חשוב לוודא כי מתקיימים כל התנאים. למרווח ביטחון ביחס לאוכלוסייה, עלינו לוודא שהאפשרויות הבאות:

• יש לנו מדגם אקראי פשוט בגודל n מאוכלוסייה גדולה
• האנשים שלנו נבחרו ללא תלות זה בזה.
• במדגם שלנו יש לפחות 15 הצלחות ו -15 כישלונות.

אם הפריט האחרון אינו מרוצה, יתכן שניתן יהיה להתאים מעט את המדגם שלנו ולהשתמש ב מרווח ביטחון פלוס-ארבעה. במה שלאחר מכן, נניח שכל התנאים לעיל התקיימו.

אנו מתחילים עם האומדן לשיעור האוכלוסייה שלנו. בדיוק כפי שאנו משתמשים במדגם מדגם כדי להעריך את ממוצע האוכלוסייה, אנו משתמשים בפרופורציה של מדגם כדי להעריך את שיעור האוכלוסייה. שיעור האוכלוסייה הוא פרמטר לא ידוע. שיעור המדגם הוא נתון. נתון זה נמצא על ידי ספירת מספר ההצלחות במדגם שלנו ואז חלוקה בסך הכל של האנשים במדגם.

שיעור האוכלוסייה מצוין על ידי ע וזה מסביר את עצמו. הסימן לפרופיל המדגם מעורב מעט יותר. אנו מציינים פרופורציה כמדגם p̂ ואנחנו קוראים סמל זה כ- "כובע" מכיוון שהוא נראה כמו האות ע עם כובע למעלה.

זה הופך לחלק הראשון של מרווח הביטחון שלנו. האומדן של p הוא p̂.

כדי לקבוע את הנוסחה לשולי השגיאה, עלינו לחשוב על ה- התפלגות דגימה של p̂. עלינו לדעת את הממוצע, את סטיית התקן ואת ההתפלגות הספציפית בה אנו עובדים.

חלוקת הדגימה של p̂ היא חלוקה בינומית עם הסתברות להצלחה ע ו n ניסויים. לסוג זה של משתנה אקראי יש ממוצע של ע וסטיית תקן של (ע(1 - ע)/n)^0.5. ישנן שתי בעיות עם זה.

הבעיה הראשונה היא שהפצה בינומית יכולה להיות מאוד מסובכת לעבוד איתה. נוכחות בתי חרושת יכולה להוביל למספר גדול מאוד. זה המקום בו התנאים עוזרים לנו. כל עוד מתקיימים התנאים שלנו, נוכל להעריך את ההתפלגות הבינומית עם ההתפלגות הרגילה הרגילה.

הבעיה השנייה היא שסטיית התקן של שימוש ב- p̂ ע בהגדרתו. יש לאמוד את פרמטר האוכלוסייה הלא ידוע על ידי שימוש באותו פרמטר כמו שולי שגיאה. הנמקה מעגלית זו היא בעיה שצריך לתקן.

הדרך לצאת ממסע זה היא להחליף את סטיית התקן בשגיאת התקן שלה. שגיאות סטנדרטיות מבוססות על נתונים סטטיסטיים ולא על פרמטרים. שגיאת תקן משמשת להערכת סטיית תקן. מה שמייחד את האסטרטגיה הזו הוא שאיננו צריכים עוד לדעת את ערך הפרמטר ע.

כדי להשתמש בשגיאה הסטנדרטית, אנו מחליפים את הפרמטר הלא ידוע ע עם הנתונים הסטטיסטיים p̂. התוצאה היא הנוסחה הבאה למרווח ביטחון ביחס לאוכלוסייה:

p̂ +/- z * (p̂ (1 - p̂) /n)^0.5.

כאן הערך של z * נקבע על ידי רמת הביטחון שלנו ג. להפצה הרגילה הרגילה, בדיוק ג אחוז מההפצה הרגילה הרגילה היא בין -z * ו z *. ערכים נפוצים עבור z * כוללים 1.645 עבור ביטחון של 90% ו- 1.96 עבור 95% ביטחון.

בואו נראה כיצד שיטה זו עובדת עם דוגמה. נניח שאנחנו רוצים לדעת בביטחון של 95% את אחוז הבוחרים במחוז שמזהה את עצמו כדמוקרטי. אנו עורכים מדגם אקראי פשוט של 100 איש במחוז זה ומגלים ש 64 מהם מזדהים כדמוקרט.

אנו רואים כי מתקיימים כל התנאים. הערכת שיעור האוכלוסייה שלנו היא 64/100 = 0.64. זהו הערך של הפרופורציה המדגם p̂ וזה מרכז מרווח הביטחון שלנו.

שולי הטעות מורכבים משני חלקים. הראשון הוא ז*. כאמור, עבור ביטחון של 95%, הערך של ז* = 1.96.

החלק האחר של שולי השגיאה ניתן על ידי הנוסחה (p̂ (1 - p̂) /n)^0.5. קבענו p̂ = 0.64 וחישוב = השגיאה הסטנדרטית להיות (0.64 (0.36) / 100)^0.5 = 0.048.

אנו מכפילים את שני המספרים הללו יחד ומקבלים מרווח שגיאות של 0.09408. התוצאה הסופית היא:

0.64 +/- 0.09408,

או שאנחנו יכולים לשכתב את זה כ- 54.592% ל- 73.408%. לפיכך אנו בטוחים ב -95% כי שיעור האוכלוסייה האמיתי של הדמוקרטים נמצא איפשהו בטווח של אחוזים אלה. המשמעות היא שבטווח הארוך הטכניקה והנוסחה שלנו יתפסו את אחוז האוכלוסייה של 95% מהזמן.

ישנם מספר רעיונות ונושאים הקשורים לסוג זה של מרווח ביטחון. למשל, נוכל לערוך בדיקת השערה הנוגעת לערך שיעור האוכלוסייה. נוכל גם להשוות שתי פרופורציות משתי אוכלוסיות שונות.