מהם אקסיומות הסתברות?

אסטרטגיה אחת במתמטיקה היא להתחיל עם כמה אמירות, ואז לבנות יותר מתמטיקה מהצהרות אלה. הצהרות ההתחלה ידועות כאקסיומות. אקסיומה היא בדרך כלל דבר המובן מאליו מתמטית. מתוך רשימה קצרה יחסית של אקסיומות, משתמשים בהיגיון דדוקטיבי להוכחת אמירות אחרות, המכונות משפטים או הצעות.

תחום המתמטיקה המכונה הסתברות אינו שונה. ניתן להפחית את ההסתברות לשלוש אקסיומות. זה נעשה לראשונה על ידי המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב. קומץ האקסיומות הנמצאות בבסיס ההסתברות יכול לשמש כדי להסיק את הכל סוגים של תוצאות. אך מהן אקסיומות ההסתברות הללו?

בכדי להבין את האקסיומות להסתברות, עלינו לדון תחילה בכמה הגדרות בסיסיות. אנו מניחים שיש לנו מערך של תוצאות הנקרא שטח המדגם ש. ניתן לחשוב על מרחב מדגם זה כמקבץ האוניברסלי למצב בו אנו חוקרים. שטח המדגם מורכב מקבוצות משנה הנקראות אירועים ה₁, ה₂,..., ה_n.

אנו גם מניחים שיש דרך לייחס הסתברות לכל אירוע ה. אפשר לחשוב על זה כפונקציה שיש לה סט לקלט, ו- מספר ממשי כפלט. ההסתברות של אירועה מסומן על ידי ע(ה).

האקסיומה הראשונה של ההסתברות היא שההסתברות לאירוע כלשהו היא מספר ממשי לא שלילי. המשמעות היא שהקטן ביותר שההסתברות יכולה להיות אי פעם הוא אפס ושהוא לא יכול להיות אינסופי. קבוצת המספרים בהם אנו עשויים להשתמש הם מספרים אמיתיים. הכוונה לשני המספרים הרציונליים, הידועים גם כשברים, וגם למספרים לא רציונאליים שלא ניתן לכתוב כשברים.

דבר אחד שיש לציין הוא שהאקסיומה הזו לא אומרת דבר על כמה ההסתברות לאירוע יכולה להיות גדולה. האקסיומה אכן מבטלת את האפשרות של הסתברויות שליליות. זה משקף את התפיסה שההסתברות הקטנה ביותר, השמורה לאירועים בלתי אפשריים, היא אפס.

האקסיומה השנייה של ההסתברות היא שההסתברות של שטח המדגם כולו היא אחת. באופן סמלי אנו כותבים ע(ס) = 1. המשתמע באקסיומה זו הוא הרעיון שמרחב הדגימה הוא כל מה שאפשר לניסוי ההסתברות שלנו ושאין אירועים מחוץ למרחב המדגם.

כשלעצמו, אקסיומה זו אינה מציבה גבול עליון לסבירות של אירועים שאינם שטח הדגימה כולו. זה אכן משקף שמשהו בוודאות מוחלטת הוא בעל הסתברות של 100%.

האקסיומה השלישית של ההסתברות עוסקת באירועים בלעדיים הדדית. אם ה₁ ו ה₂ הם בלעדיות הדדית, כלומר שיש להם צומת ריק ואנחנו משתמשים ב- U כדי לציין את האיחוד ע(ה₁ U ה₂ ) = ע(ה₁) + ע(ה₂).

האקסיומה למעשה מכסה את המצב בכמה אירועים (אפילו אין סופיים), שכל זוג מהם בלעדי הדדי. כל עוד זה מתרחש, ה- ההסתברות לאיחוד האירועים זהה לסכום ההסתברויות:

ע(ה₁ U ה₂ U... U ה_n ) = ע(ה₁) + ע(ה₂) +... + ה_n

למרות שאקסיומה שלישית זו אולי לא נראית כל כך מועילה, נראה כי בשילוב עם שתי האקסיומות האחרות הוא אכן די חזק.

שלוש האקסיומות מציבות גבול עליון לסבירות של אירוע כלשהו. אנו מציינים את השלמת האירוע ה על ידי ה^ג. מתורת הקבוצות, ה ו ה^ג יש צומת ריק והם בלעדיים זה מזה. יתר על כן ה U ה^ג = ס, כל שטח המדגם.

עובדות אלה בשילוב האקסיומות נותנות לנו:

1 = ע(ס) = ע(ה U ה^ג) = ע(ה) + ע(ה^ג) .

אנו מסדרים מחדש את המשוואה לעיל ורואים זאת ע(ה) = 1 - ע(ה^ג). מכיוון שאנו יודעים שההסתברויות חייבות להיות לא-שליליות, כעת יש לנו כי גבול עליון לסבירות של אירוע כלשהו הוא 1.

על ידי סידור מחדש של הנוסחה שיש לנו ע(ה^ג) = 1 - ע(ה). אנו גם יכולים להסיק מנוסחה זו שההסתברות לאירוע שלא תתרחש היא מינוס ההסתברות שהיא אכן מתרחשת.

המשוואה לעיל מספקת לנו גם דרך לחשב את ההסתברות לאירוע הבלתי אפשרי, הנקוב על ידי הסט הריק. כדי לראות זאת, זכור כי הסט הריק הוא השלמה של הסט האוניברסלי, במקרה זה ס^ג. מאז 1 = ע(ס) + ע(ס^ג) = 1 + ע(ס^ג), לפי אלגברה שיש לנו ע(ס^ג) = 0.

האמור לעיל הם רק כמה דוגמאות לתכונות שניתן להוכיח ישירות מהאקסיומות. ישנן תוצאות רבות נוספות בהסתברות. אבל כל המשפטים הללו הם הרחבות לוגיות משלושת אקסיומות ההסתברות.