כיצד להשתמש 'אם ורק אם' במתמטיקה

כאשר קוראים על סטטיסטיקה ומתמטיקה, ביטוי אחד המופיע בקביעות הוא "אם ורק אם". ביטוי זה מופיע במיוחד בהצהרות של משפטים או הוכחות מתמטיות. אבל מה בדיוק פירושה אמירה זו?

כדי להבין "אם ורק אם", עלינו לדעת תחילה מה הכוונה באמירה מותנית. הצהרה מותנית היא אמירה הנוצרת משתי אמירות אחרות, עליהן נציין על ידי P ו- Q. כדי ליצור הצהרה מותנית, נוכל לומר "אם P אז ש."

להלן דוגמאות להצהרה מסוג זה:

• אם יורד גשם בחוץ, אז אני לוקח את המטריה שלי איתי לטיול.
• אם תלמד קשה, אז תרוויח א '.
• אם n ניתן לחלק ב -4, אם כן n ניתן לחלוקה ב -2.

שלוש הצהרות נוספות קשורות לכל הצהרה מותנית. אלה נקראים משוחחים, הפוכים וחסרי-המפתח. אנו מגבשים הצהרות אלה על ידי שינוי הסדר של P ו- Q מהתנאי המקורי והכנסת המילה "לא" עבור ההיפוך והניגוד.

עלינו רק לשקול את השיחה כאן. הצהרה זו מתקבלת מהמקור באמירה "אם Q אז P." נניח שנתחיל עם התנאי "אם יורד גשם בחוץ, אז אני קח את המטריה שלי איתי לטיול. " השיחה של הצהרה זו היא "אם אני לוקח את המטריה שלי איתי לטיול שלי, אז יורד גשם בחוץ."

עלינו לקחת בחשבון דוגמה זו רק כדי להבין שהתנאי המקורי אינו זהה מבחינה הגיונית לזה של שיחה. הבלבול בין שתי צורות ההצהרה הללו ידוע כ-

לדוגמא אחרת, אנו רואים את התנאי "אם מספר מתחלק ב -4, הוא מתחלק ב -2." הצהרה זו נכונה בעליל. עם זאת, השיחה של הצהרה זו "אם מספר מתחלק ב -2, הוא ניתן לחלוקה ב -4" הוא כוזב. עלינו להסתכל רק על מספר כמו 6. למרות ש -2 מחלק את המספר הזה, 4 לא. אף שההצהרה המקורית נכונה, השיחה אינה.

זה מביא אותנו לאמירה תנאיונית, הידועה גם כאמירה "אם ורק אם". בהצהרות מותנות מסוימות יש גם שיחות שהן נכונות. במקרה זה, אנו עשויים ליצור מה שמכונה אמירה על תנאי. הצהרה על תנאי יש את הטופס:

"אם P אז Q, ואם Q אז P."

מאז בנייה זה קצת מביך, במיוחד כאשר P ו- Q הם אמירות הגיוניות משלהם, אנו מפשטים את האמירה של דו-תנאי באמצעות הביטוי "אם ורק אם." במקום לומר "אם P אז Q, ואם Q אז P" אנו במקום זאת אומרים "P אם ורק אם Q." בנייה זו מבטלת חלק יתירות.

לדוגמה לביטוי "אם ורק אם" שיש בו נתונים סטטיסטיים, אל תסתכל מעבר לעובדה הנוגעת לסטיית התקן המדגמית. סטיית התקן לדוגמה של מערך נתונים שווה ל אפס אם ורק אם כל ערכי הנתונים זהים.

אנו מפרקים את האמירה התנאיית הזו לתנאי והשיחה שלה. ואז אנו רואים שאמירה זו פירושה את שני הדברים הבאים:

• אם סטיית התקן היא אפס, אז כל ערכי הנתונים זהים.
• אם כל ערכי הנתונים זהים, סטיית התקן שווה לאפס.

אם אנו מנסים להוכיח דו-תנאי, רוב הזמן אנו מתפצלים עם זה. זה הופך את ההוכחה שלנו לשני חלקים. חלק אחד שאנחנו מוכיחים הוא "אם P אז ש." החלק האחר של ההוכחה שאנו זקוקים לו הוא "אם Q אז P."

הצהרות דו-תנאי קשורות לתנאים שהם נחוצים ומספיקים כאחד. שקול את ההצהרה "אם היום זה חג הפסחאאז מחר יום שני. " היום זה חג הפסחא מספיק כדי שמחר יהיה יום שני, עם זאת, זה לא הכרחי. היום יכול להיות כל יום ראשון מלבד חג הפסחא, ומחר עדיין יהיה יום שני.

הביטוי "אם ורק אם" משמש בדרך כלל מספיק בכתיבה מתמטית שיש לו קיצור משלו. לעיתים מתקצר התנאי הדו-משפטי באמירה של הביטוי "אם ורק אם" פשוט "iff." כך ההצהרה "P אם ורק אם Q" הופכת ל- "P iff Q."