נקודות מקסימום ודיפלציה של התפלגות צ'י-ריבוע

סטטיסטיקה מתמטית משתמש בטכניקות מענפי מתמטיקה שונים כדי להוכיח באופן סופי שההצהרות לגבי סטטיסטיקות נכונות. נראה כיצד להשתמש בחשבון כדי לקבוע את הערכים שהוזכרו לעיל של שניהם הערך המקסימלי של ה- חלוקת צ'י-ריבוע, המתאימה למצב שלה, כמו גם למצוא את נקודות הטיה של ה- הפצה.

לפני שנעשה זאת, נדון בתכונות של נקודות מקסימה וניפוח באופן כללי. כמו כן, נבחן שיטה לחישוב מקסימאלי של נקודות ההטיה.

עבור קבוצת נתונים נפרדת, המצב הוא הערך המופיע בתדירות הגבוהה ביותר. בהיסטוגרמה של הנתונים, זה ייצג על ידי הסרגל הגבוה ביותר. ברגע שאנו מכירים את הסרגל הגבוה ביותר, אנו מסתכלים על ערך הנתונים המתאים לבסיס לסרגל זה. זהו המצב עבור מערך הנתונים שלנו.

אותו רעיון משמש בעבודה עם תפוצה מתמדת. הפעם כדי למצוא את המצב, אנו מחפשים את השיא הגבוה ביותר בתפוצה. עבור גרף של התפלגות זו, גובה הפסגה הוא ערך y. ערך y זה נקרא מקסימום עבור הגרף שלנו מכיוון שהערך גדול מכל ערך y אחר. המצב הוא הערך לאורך הציר האופקי המתאים לערך y המרבי הזה.

למרות שאנחנו יכולים פשוט להסתכל בתרשים של התפלגות כדי למצוא את המצב, יש כמה בעיות בשיטה זו. הדיוק שלנו טוב באותה מידה כמו הגרף שלנו, וסביר להניח שנצטרך להעריך. כמו כן, יתכנו קשיים בתרשים התפקוד שלנו.

שיטה חלופית שאינה מצריכה תרשים היא שימוש בחשבון. השיטה בה נשתמש היא כדלקמן:

1. התחל עם פונקציית צפיפות ההסתברות ו (איקס) להפצה שלנו.
2. חשב את הראשון והשני נגזרים של פונקציה זו: ו '(איקס) ו ו ''(איקס)
3. קבע את הנגזרת הראשונה הזו שווה לאפס ו '(איקס) = 0.
4. לפתור עבור איקס.
5. חבר את הערכים מהשלב הקודם לנגזרת השנייה והעריך. אם התוצאה שלילית, יש לנו מקסימום מקומי בערך x.
6. הערך את הפונקציה שלנו f (איקס) בכל הנקודות איקס מהצעד הקודם.
7. הערך את פונקציית צפיפות ההסתברות בכל נקודות הקצה של התמיכה שלה. כך שאם לפונקציה יש תחום שניתן על ידי המרווח הסגור [a, b], הערך את הפונקציה בנקודות הקצה א ו ב.
8. הערך הגדול ביותר בשלבים 6 ו -7 יהיה המקסימום המוחלט של הפונקציה. ערך ה- x שבו המקסימום הזה מתרחש הוא מצב ההפצה.

כעת אנו עוברים על השלבים שלעיל כדי לחשב את מצב חלוקת הצ'י-ריבוע עם r דרגות חופש. נתחיל בפונקציה של צפיפות ההסתברות ו(איקס) שמוצגת בתמונה במאמר זה.

ו (איקס) = ק איקס^{r / 2-1}ה^{-x / 2}

כאן ק הוא קבוע המערב את פונקציית גאמה ועוצמה של 2. איננו צריכים לדעת את הפרטים האישיים (עם זאת אנו יכולים להתייחס לנוסחה בתמונה עבור אלה).

הנגזרת הראשונה של פונקציה זו ניתנת באמצעות חוק מוצר טוב כמו ה כלל שרשרת:

ו '( איקס ) = ק (r / 2 - 1)איקס^{r / 2-2}ה^{-x / 2} - (ק / 2) איקס^{r / 2-1}ה^{-x / 2}

אנו קובעים את הנגזרת הזו שווה לאפס, ומגדירים את הביטוי בצד ימין:

0 = K x^{r / 2-1}ה^{-x / 2} [(r / 2 - 1)איקס^-1- 1/2]

מאז הקבוע K, ה פונקציה מעריכית ו איקס^{r / 2-1} כולם לא-נעלים, אנו יכולים לחלק את שני צידי המשוואה על ידי ביטויים אלה. לאחר מכן יש לנו:

0 = (r / 2 - 1)איקס^-1- 1/2

הכפל את שני צידי המשוואה ב -2:

0 = (r - 2)איקס^-1- 1

כך 1 = (r - 2)איקס^-1ואנחנו מסיימים בכך x = r - 2. זו הנקודה לאורך הציר האופקי בו מתרחש המצב. זה מציין את איקס ערך שיא תפוצת הצ'י-ריבוע שלנו.

מאפיין נוסף של עקומה עוסק בדרך שהוא מתעקם. חלקים של עקומה יכולים להיות קעורים, כמו אותיות גדולות U. עקומות יכולות להיות גם קעורות כלפי מטה, ולעצב אותן כמו צומת סמל ∩. היכן שהעקומה משתנה ממעוררת למטה למעוררת, או להפך, יש לנו נקודת ניפוי.

הנגזרת השנייה של הפונקציה מזהה את מוחשיות הגרף של הפונקציה. אם הנגזרת השנייה חיובית, העקומה מעוקקת. אם הנגזרת השנייה שלילית, העקומה עקומה למטה. כאשר הנגזרת השנייה שווה לאפס והגרף של הפונקציה משנה את הקעירות, יש לנו נקודת זווית.

כדי למצוא את נקודות הטיה של גרף אנו:

1. חשב את הנגזרת השנייה של הפונקציה שלנו ו ''(איקס).
2. קבע את הנגזרת השנייה הזו שווה לאפס.
3. לפתור את המשוואה מהצעד הקודם עבור איקס.

כעת אנו רואים כיצד לעבוד דרך השלבים לעיל לפיזור הצ'י-ריבוע. אנו מתחילים בהבחנה. מהעבודה לעיל ראינו שהנגזרת הראשונה לתפקודנו היא:

ו '(איקס) = ק (r / 2 - 1) איקס^{r / 2-2}ה^{-x / 2} - (ק / 2) איקס^{r / 2-1}ה^{-x / 2}

אנו נבדלים שוב, תוך שימוש בכללי המוצר פעמיים. יש לנו:

ו ''( איקס ) = ק (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)איקס^{r / 2-3}ה^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)איקס^{r / 2-2}ה^{-x / 2} + (K / 4) איקס^{r / 2-1}ה^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) איקס^{r / 2-2}ה^{-x / 2}

קבענו את זה שווה לאפס ומחלקים את שני הצדדים לפי Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)איקס^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)איקס^{r / 2-2}+ (1/ 4) איקס^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) איקס^{r / 2-2}

על ידי שילוב של מונחים דומים יש לנו:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)איקס^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)איקס^{r / 2-2}+ (1/ 4) איקס^{r / 2-1}

הכפל את שני הצדדים ב -4איקס^{3 - r / 2}, זה נותן לנו:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)איקס+ איקס^2.

כעת ניתן להשתמש בנוסחה הרביעית לפתרון עבור איקס.

איקס = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

אנו מרחיבים את התנאים שנלקחים לכוח 1/2 ורואים את הדברים הבאים:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

זה אומר ש:

איקס = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

מכאן אנו רואים שיש שתי נקודות ניפוי. יתר על כן, נקודות אלה סימטריות לגבי אופן ההתפלגות שכן (r - 2) הוא באמצע הדרך בין שתי נקודות ההטיה.

אנו רואים כיצד שתי התכונות הללו קשורות למספר דרגות החופש. אנו יכולים להשתמש במידע זה כדי לעזור לשרטט חלוקה של צ'י-ריבוע. אנו יכולים גם להשוות תפוצה זו עם אחרים, כמו החלוקה הרגילה. אנו יכולים לראות שנקודות ההטיה של התפלגות צ'י-ריבוע מתרחשות במקומות שונים מה- נקודות הסחה להתפלגות הרגילה.