פתרונות לבעיות ספירה מאתגרות

ספירה יכולה להיראות כמו משימה קלה לביצוע. כשאנחנו נכנסים לעומק האזור של מתמטיקה ידוע כ קומבינטוריקהאנו מבינים כי אנו נתקלים במספרים גדולים. מאז מפעל מופיע לעתים קרובות כל כך, ומספר כמו 10! גדול משלוש מיליון, בעיות ספירה יכולות להסתבך מהר מאוד אם ננסה לפרט את כל האפשרויות.

לפעמים כשאנחנו בוחנים את כל האפשרויות שבעיות הספירה שלנו יכולות לקחת על עצמם, קל יותר לחשוב דרך העקרונות הבסיסיים של הבעיה. אסטרטגיה זו יכולה לקחת הרבה פחות זמן מאשר לנסות כוח אמיץ לפרט מספר שילובים או פרמוטציות.

השאלה "כמה דרכים ניתן לעשות משהו?" היא שאלה שונה לחלוטין מ"מה הדרכים שאפשר לעשות משהו? "נראה את הרעיון הזה בעבודה בסדרה הבאה של הספירה המאתגרת בעיות.

קבוצת השאלות שלהלן כוללת את המילה TRIANGLE. שים לב שיש בסך הכל שמונה אותיות. שיהיה מובן ש תנועות של המילה TRIANGLE הם AEI, והעיצורים של המילה TRIANGLE הם LGNRT. לקבלת אתגר אמיתי, לפני שתקרא עוד יותר, בדוק גרסה לבעיות אלה ללא פתרונות.

1. כמה דרכים ניתן לסדר את אותיות המילה TRIANGLE?
   פיתרון: הנה בסך הכל שמונה אפשרויות עבור האות הראשונה, שבע לשנייה, שש עבור השלישית וכן הלאה. לפי עקרון הכפל אנו מכפילים בסך הכל 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40,320 דרכים שונות.
   instagram viewer
2. כמה דרכים ניתן לסדר את האותיות של המילה TRIANGLE אם שלוש האותיות הראשונות חייבות להיות RAN (בסדר המדויק הזה)?
   פיתרון: שלושת המכתבים הראשונים נבחרו עבורנו, והשאירו לנו חמש אותיות. אחרי RAN יש לנו חמש אפשרויות למכתב הבא ואחריו ארבע, ואז שלוש, ואז שתיים ואז אחת. לפי עקרון הכפל, ישנם 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 דרכים לסדר את האותיות בצורה מוגדרת.
3. כמה דרכים ניתן לסדר את האותיות של המילה TRIANGLE אם שלוש האותיות הראשונות חייבות להיות RAN (בכל סדר)?
   פיתרון: ראו זאת כשתי משימות עצמאיות: הראשונה מסדרת את האותיות RAN, והשנייה מסדרת את חמש האותיות האחרות. יש 3! = 6 דרכים לסדר RAN ו- 5! דרכים לסדר את חמשת המכתבים האחרים. אז יש בסך הכל 3! x 5! = 720 דרכים לסדר את אותיות TRIANGLE כמפורט.
4. כמה דרכים ניתן לסדר את האותיות של המילה TRIANGLE אם שלוש האותיות הראשונות צריכות להיות RAN (בכל סדר) והאות האחרונה חייבת להיות ווקרה?
   פיתרון: הסתכלו על זה כשלוש משימות: הראשונה מסדרת את האותיות RAN, השנייה בוחרת תו אחד מתוך I ו- E והשלישית מסדרת את ארבע האותיות האחרות. יש 3! = 6 דרכים לסדר RAN, 2 דרכים לבחירת תו מבין האותיות שנותרו ו -4! דרכים לסדר את ארבע המכתבים האחרים. אז יש בסך הכל 3! X 2 x 4! = 288 דרכים לסדר את אותיות TRIANGLE כמפורט.
5. כמה דרכים ניתן לסדר את האותיות של המילה TRIANGLE אם שלוש האותיות הראשונות חייבות להיות RAN (בכל סדר) ושלוש האותיות הבאות חייבות להיות TRI (בכל סדר)?
   פיתרון: שוב יש לנו שלוש משימות: הראשונה מסדרת את האותיות RAN, השנייה מסדרת את האותיות TRI והשלישית מסדרת את שתי האותיות האחרות. יש 3! = 6 דרכים לסדר RAN, 3! דרכים לסדר TRI ושתי דרכים לסדר את המכתבים האחרים. אז יש בסך הכל 3! x 3! X 2 = 72 דרכים לסדר את אותיות TRIANGLE כפי שצוין.
6. כמה דרכים שונות ניתן לסדר את האותיות של המילה TRIANGLE אם לא ניתן לשנות את הסדר ואת המיקום של התנועות IAE?
   פיתרון: יש לשמור על שלושת התנועות באותו הסדר. כעת יש לסך הכל חמישה עיצורים. ניתן לעשות זאת ב -5! = 120 דרכים.
7. כמה דרכים שונות ניתן לסדר את אותיות המילה TRIANGLE אם לא ניתן לסדר את התנועות IAE יש לשנות, למרות שמיקום שלהם עשוי להיות (IAETRNGL ו- TRIANGEL מקובלים אך EIATRNGL ו- TRIENGLA הם לא)?
   פיתרון: ניתן לחשוב על זה בצורה הטובה ביותר בשני שלבים. שלב ראשון הוא לבחור את המקומות אליהם מועברים התנועות. כאן אנו בוחרים שלושה מקומות מתוך שמונה, וההוראה שאנו עושים זאת אינה חשובה. זה שילוב ויש סך של ג(8,3) = 56 דרכים לבצע את הצעד הזה. ניתן לארגן את חמש האותיות הנותרות ב- 5! = 120 דרכים. זה נותן סך הכל 56 x 120 = 6720 סידורים.
8. כמה דרכים שונות ניתן לסדר את אותיות המילה TRIANGLE אם ניתן לשנות את סדר התנועות IAE, אם כי מיקוםן אולי לא?
   פיתרון: זה באמת אותו דבר כמו מספר 4 לעיל, אבל עם אותיות שונות. אנו מסדרים שלוש אותיות ב -3! = 6 דרכים וחמשת האותיות האחרות ב -5! = 120 דרכים. המספר הכולל של הדרכים לסידור זה הוא 6 x 120 = 720.
9. כמה דרכים שונות ניתן לסדר שש אותיות של המילה TRIANGLE?
   פיתרון: מכיוון שאנחנו מדברים על הסדר, מדובר בפרמוטציה ויש סך של ע( 8, 6) = 8!/2! = 20,160 דרכים.
10. כמה דרכים שונות ניתן לסדר שש אותיות של המילה TRIANGLE אם חייב להיות מספר שווה של תנועות ועיצורים?
    פיתרון: יש רק דרך אחת לבחור את התנועות שאנו הולכים להניח. ניתן לבחור בבחירת העיצורים ג(5, 3) = 10 דרכים. יש אז 6! דרכים לסדר את שש האותיות. הכפלו את המספרים הללו יחד לתוצאה של 7200.
11. כמה דרכים שונות ניתן לסדר שש אותיות של המילה TRIANGLE אם חייבים להיות לפחות עיצור אחד?
    פיתרון: כל סידור בן שש אותיות עומד בתנאים, כך יש ע(8, 6) = 20,160 דרכים.
12. כמה דרכים שונות ניתן לסדר שש אותיות של המילה TRIANGLE אם התנועות חייבות להתחלף עם עיצורים?
    פיתרון: ישנן שתי אפשרויות, האות הראשונה היא ווקרה או האות הראשונה עיצור. אם האות הראשונה היא ווקרה יש לנו שלוש אפשרויות, ואחריהן חמש עבור עיצור, שתיים עבור ווקרה שנייה, ארבע עבור עיצור שני, אחת עבור הנדל האחרון ושלוש עבור העיצור האחרון. אנו מכפילים את זה כדי להשיג 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. על ידי טיעוני סימטריה ישנם מספר זהה של סידורים המתחילים בעיצור. זה נותן בסך הכל 720 סידורים.
13. כמה קבוצות שונות של ארבע אותיות יכולות להיווצר מהמילה TRIANGLE?
    פיתרון: מכיוון שאנחנו מדברים על א סט מתוך ארבע אותיות מתוך שמונה בסך הכל, הסדר אינו חשוב. עלינו לחשב את השילוב ג(8, 4) = 70.
14. כמה קבוצות שונות של ארבע אותיות יכולות להיווצר מהמילה TRIANGLE שיש לה שני וודרים ושני עיצורים?
    פיתרון: כאן אנו מגבשים את התפאורה שלנו בשני שלבים. יש ג(3, 2) = 3 דרכים לבחור שני וודרים מתוך סך הכל 3. יש ג(5, 2) = 10 דרכים לבחור לעיצורים מתוך החמישה הזמינים. זה נותן סה"כ 3x10 = 30 סטים אפשריים.
15. כמה קבוצות שונות של ארבע אותיות יכולות להיווצר מהמילה TRIANGLE אם אנו רוצים לפחות נדבקה אחת?
    פיתרון: ניתן לחשב זאת באופן הבא:

• מספר הסטים של ארבעה עם נדר אחד הוא ג(3, 1) x ג( 5, 3) = 30.
• מספר הסטים של ארבעה עם שני וודרים הוא ג(3, 2) x ג( 5, 2) = 30.
• מספר הסטים של ארבעה עם שלושה תנועות הוא ג(3, 3) x ג( 5, 1) = 5.

זה נותן בסך הכל 65 סטים שונים. לחלופין נוכל לחשב שיש 70 דרכים ליצור קבוצה של כל ארבע אותיות, ולחסר את האותיות ג(5, 4) = 5 דרכים להשיג ערכה ללא וודרים.