כיצד לחשב את חציון ההתפלגות האקספוננציאלית

ה חציון של קבוצת נתונים היא נקודת אמצע הדרך שבה בדיוק מחצית מערכי הנתונים פחותים או שווים לחציון. באופן דומה, אנו יכולים לחשוב על החציון של א רציףחלוקת הסתברויות, אך במקום למצוא את הערך האמצעי בקבוצת נתונים, אנו מוצאים את אמצע ההתפלגות בצורה אחרת.

השטח הכולל תחת פונקצית צפיפות הסתברות הוא 1, המייצג 100%, וכתוצאה מכך, מחצית מזה יכול להיות מיוצג על ידי מחצית או 50 אחוז. אחד הרעיונות הגדולים בסטטיסטיקה מתמטית הוא שההסתברות מיוצגת על ידי האזור שמתחת לעיקול ה- פונקצית צפיפות, המחושבת על ידי אינטגרל, ולכן החציון של התפלגות רציפה הוא הנקודה ב ה מספר ממשי קו שבו בדיוק מחצית השטח שוכן שמאלה.

ניתן לומר זאת בצורה תמציתית יותר על ידי האינטגרל הלא תקין הבא. החציון של המשתנה האקראי הרצוף איקס עם פונקצית צפיפות ו( איקס) הוא הערך M כך:

$0.5={\int }_M^{-\infty }ו\left(\mathrm{איקס}\right)ד\mathrm{איקס}$0.5=∫M−∞​ו(איקס)דאיקס

אנו מחשבים את חציון התפוצה האקספוננציאלית Exp (A). למשתנה אקראי עם חלוקה זו יש פונקציית צפיפות ו(איקס) = ה^{-איקס/ א}/ א ל איקס כל מספר אמיתי שלילי. הפונקציה מכילה גם את ה- קבוע מתמטי ה, בערך שווה ל- 2.71828.

מכיוון שפונקיית צפיפות ההסתברות היא אפס לכל ערך שלילי של איקסכל שעלינו לעשות הוא לשלב את הדברים הבאים ולפתור עבור M:

0.5 = ∫0M f (x) dx

מאז האינטגרל ∫ ה^{-איקס/ א}/ א דאיקס = -ה^{-איקס/ א}, התוצאה היא

0.5 = -e-M / A + 1

המשמעות היא ש- 0.5 = ה^{-M / A} ואחרי שנטלנו את הלוגריתם הטבעי של שני צידי המשוואה, יש לנו:

ln (1/2) = -M / A

מאז 1/2 = 2^-1, לפי תכונות של לוגריתמים אנו כותבים:

- ln2 = -M / A

הכפלת שני הצדדים ב- A נותנת לנו את התוצאה שהחציון M = A ln2.

יש להזכיר תוצאה אחת של תוצאה זו: הממוצע של ההתפלגות האקספוננציאלית Exp (A) הוא A, ומכיוון ש- ln2 הוא פחות מ -1, מכאן עולה כי המוצר Aln2 פחות מ- A. המשמעות היא שהחציון של ההתפלגות האקספוננציאלית הוא פחות מהממוצע.

זה הגיוני אם נחשוב על הגרף של פונקציית צפיפות ההסתברות. בגלל הזנב הארוך, התפלגות זו מוטה ימינה. פעמים רבות כאשר התפלגות מוטה ימינה, הממוצע הוא לימין החציון.

משמעות הדבר במונחים של ניתוח סטטיסטי היא שאנחנו יכולים לעתים קרובות לחזות שהממוצע והחציון אינם ישירות מתאמים בהינתן ההסתברות כי נתונים מוטים ימינה, אשר יכולים לבוא לידי ביטוי כהוכחת אי-השוויון הממוצע-בינוני ידוע כ אי השוויון של צ'בישב.

כדוגמה, שקול מערך נתונים המניח שאדם מקבל בסך הכל 30 מבקרים תוך 10 שעות, כאשר זמן ההמתנה הממוצע למבקר הוא 20 דקות, בעוד שמערכת הנתונים עשויה להציג ששעת ההמתנה החציונית תהיה איפשהו בין 20 ל -30 דקות אם יותר ממחצית מאותם מבקרים היו מגיעים בחמש הראשונים שעה (ות.