דוגמה להתקרבות נורמלית להפצה בינומית

ההפצה הבינומית כוללת א בדידים משתנה רנדומלי. הסתברויות בסביבה בינומית ניתן לחשב בצורה ישירה על ידי שימוש בנוסחה עבור מקדם בינומי. בעוד שבתיאוריה מדובר בחישוב קל, בפועל זה יכול להיות מייגע למדי או אפילו בלתי אפשרי לחישוב חישוב הסתברויות בינומיות. במקום זאת ניתן לאבחן בעיות אלה באמצעות א התפלגות רגילהלקירוב חלוקה בינומית. נראה כיצד לעשות זאת על ידי ביצוע שלבי חישוב.

ראשית, עלינו לקבוע אם ראוי להשתמש בקירוב הרגיל. לא כל התפלגות הבינומית אותו הדבר. חלקם מציגים מספיק שיפוט שאנחנו לא יכולים להשתמש בקירוב רגיל. כדי לבדוק אם יש להשתמש בקירוב הרגיל, עלינו לבחון את הערך של ע, שזו ההסתברות להצלחה, ו n, שהוא מספר התצפיות שלנו משתנה בינומי.

על מנת להשתמש בקירוב הרגיל, אנו שוקלים את שניהם np ו n( 1 - ע ). אם שני המספרים הללו גדולים מ- 10 או שווים להם, אנו מוצדקים להשתמש בקירוב הרגיל. זהו כלל אצבע כללי, ובדרך כלל ככל שהערכים גדולים יותר np ו n( 1 - ע ), כך טוב יותר הקירוב.

נשווה הסתברות בינומית מדויקת לזו המתקבלת על ידי קירוב רגיל. אנו שוקלים השלכת 20 מטבעות ורוצים לדעת את ההסתברות שחמישה מטבעות או פחות הם ראשים. אם

P (איקס = 0) + P (איקס = 1) + P (איקס = 2) + P (איקס = 3) + P (איקס = 4) + P (איקס = 5).

ה שימוש בנוסחה הבינומית עבור כל אחת משש ההסתברויות הללו מראה לנו שההסתברות היא 2.0695%. כעת נראה כמה קרבה הרגילה שלנו תהיה לערך זה.

בבדיקת התנאים, אנו רואים ששניהם np ו np(1 - ע) שווים ל -10. זה מראה שאנחנו יכולים להשתמש בקירוב הרגיל במקרה זה. אנו נשתמש בהתפלגות רגילה עם ממוצע של np = 20 (0.5) = 10 וסטיית תקן של (20 (0.5) (0.5))^0.5 = 2.236.

כדי לקבוע את ההסתברות לכך איקס הוא פחות או שווה ל -5 שאנחנו צריכים למצוא את ז- ציון ל -5 בהתפלגות הרגילה בה אנו משתמשים. לכן ז = (5 – 10)/2.236 = -2.236. על ידי התייעצות עם טבלה של ז-ציונים אנו רואים שההסתברות לכך ז פחות או שווה ל -2.236 הוא 1.267%. זה שונה מההסתברות בפועל אך הוא נמצא בתוך 0.8%.

כדי לשפר את הערכתנו, ראוי להכניס גורם לתיקון המשכיות. זה משמש מכיוון שא התפלגות רגילה הוא רציף ואילו ה התפלגות הבינומית הוא דיסקרטי. עבור משתנה אקראי בינומי, היסטוגרמת הסתברות עבור איקס = 5 יכלול סרגל שעובר בין 4.5 ל 5.5 ומרכזו ב -5.

משמעות הדבר היא שעבור הדוגמא לעיל, ההסתברות לכך איקס פחות או שווה ל -5 עבור משתנה בינומי צריך להעריך על ידי ההסתברות ש איקס הוא פחות או שווה ל 5.5 עבור משתנה רגיל רציף. לכן ז = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. ההסתברות לכך ז