דוגמאות נפוצות לסטים שלא ניתן לספור

לא כל הסטים האינסופיים זהים. אחת הדרכים להבדיל בין קבוצות אלה היא על ידי השאלה אם הסט ניתן לספור אינסופי או שלא. בדרך זו אנו אומרים שתפאורות אינסופיות הן ספירות או אינספור. נשקול מספר דוגמאות של קבוצות אינסופיות ונקבע אילו מאלה אינן ניתנות לספור.

אנו מתחילים בפסילת מספר דוגמאות לתפאורות אינסופיות. רבים מהסטים האינסופיים שנחשוב עליהם מייד נמצאים אינסופיים. המשמעות היא שניתן להכניס אותם להתכתבות של אחד לאחד עם המספרים הטבעיים.

המספרים הטבעיים, המספרים השלמים והמספרים הרציונליים הם כולם אין סופיים. כל איחוד או צומת של קבוצות אינסופיות ניתנות לספור. ניתן למנות את המוצר הקרטזי של מספר ערכות ספירות. כל תת-קבוצה של ערכה ניתנת לספירה.

הדרך הנפוצה ביותר שמוצגים סטים בלתי נספרים היא בהתחשב במרווח (0, 1) של מספרים אמיתיים. מעובדה זו, ומהפונקציה האחת לאחד ו( איקס ) = bx + א. זהו תוצאה פשוטה להראות שכל מרווח (א, ב) של מספרים אמיתיים הוא אינסופי לאין שיעור.

גם מערך המספרים האמיתי אינו ניתן לספור. אחת הדרכים להראות זאת היא להשתמש בפונקציית המשיק אחד לאחד ו ( איקס ) = שזוף איקס. התחום של פונקציה זו הוא המרווח (-π / 2, π / 2), קבוצה שלא ניתן לספור אותה, והטווח הוא הסט של כל המספרים האמיתיים.

ניתן להשתמש בניתוחים של תורת הקבוצות הבסיסית כדי לייצר דוגמאות נוספות לסטים אינסופיים שלא ניתן לספור אותם:

• אם א היא תת קבוצה של ב ו א לא ניתן לספור, אם כן ב. זה מספק הוכחה ישירה יותר לכך שכל מערך המספרים האמיתי אינו ניתן לספירה.
• אם א הוא לא ניתן לספור ו ב זה כל קבוצה, אז האיחוד א U ב הוא גם לא ניתן לספור.
• אם א הוא לא ניתן לספור ו ב הוא כל קבוצה, אז המוצר הקרטזיאני א איקס ב הוא גם לא ניתן לספור.
• אם א הוא אינסופי (אפילו אינסופי לספור) אז ה- סט כוח של א לא ניתן לספור.

שתי דוגמאות נוספות שקשורות זו לזו מפתיעות מעט. לא כל תת-קבוצה של המספרים האמיתיים היא אינסופית לאין שיעור (אכן, המספרים הרציונליים מהווים תת-מונה של המימושים שהיא צפופה גם כן). קבוצות משנה מסוימות הן אינסופיות אין ספור.

אחת מאותן תת-אינסופי אינסופית כוללת סוגים מסוימים של הרחבות עשרוניות. אם אנו בוחרים בשני ספרות ונקבע כל הרחבה עשרונית אפשרית עם שתי ספרות אלה בלבד, הערכה האינסופית המתקבלת אינה ניתנת לספירה.

מערכת אחרת מורכבת יותר לבנייה והיא גם בלתי נסבלת. התחל עם המרווח הסגור [0,1]. הסר את השליש האמצעי של מערכת זו, וכתוצאה מכך [0, 1/3] U [2/3, 1]. כעת הסר את השליש האמצעי של כל אחת מהיתרות שנותרו בסט. אז (1/9, 2/9) ו- (7/9, 8/9) מוסרים. אנו ממשיכים בצורה זו. קבוצת הנקודות שנותרה לאחר הסרת כל המרווחים הללו אינה מהווה מרווח, אולם היא אין סופית. סט זה נקרא סט החזן.

יש אינסוף קבוצות רבות שאינן ניתנות לסגירה, אך הדוגמאות שלעיל הן כמה מהסטים הנפוצים ביותר.