מאפיינים של מספר אמיתי

מה זה מספר? ובכן זה תלוי. ישנם מגוון סוגים שונים של מספרים, לכל אחד מאפיינים מסוימים משלהם. סוג אחד של מספר שעליו נתונים סטטיסטיים, ההסתברות, וחלק גדול מהמתמטיקה מבוססת, נקרא מספר אמיתי.

בכדי ללמוד מהו מספר אמיתי, נעבור לראשונה סיור קצר בסוגים אחרים של מספרים.

אנו לומדים תחילה על מספרים על מנת לספור. התחלנו בהתאמת המספרים 1, 2 ו -3 עם האצבעות. ואז המשכנו ללכת הכי גבוה שיכולנו, מה שכנראה לא היה גבוה כל כך. המספרים הספורים או המספרים הטבעיים היו המספרים היחידים שידענו עליהם.

מאוחר יותר, כשעוסקים בחיסור, שלילי הוכנסו מספרים שלמים. קבוצת המספרים השלמים החיוביים והשליליים נקראת קבוצת המספרים השלמים. זמן קצר לאחר מכן נבדקו מספרים רציונליים, הנקראים גם שברים. מכיוון שניתן לכתוב כל מספר שלם כשבריר עם 1 במכנה, אנו אומרים כי המספרים השלמים מהווים קבוצת משנה של המספרים הרציונליים.

ה יוונים עתיקים הבנתי שלא כל המספרים יכולים להיווצר כשבריר. לדוגמה, לא ניתן לבטא את השורש הריבועי של 2 כשבריר. מספרים מסוג זה נקראים מספרים לא הגיוניים. מספרים לא הגיוניים שופעים, ובאופן מפתיע במובן מסוים ישנם מספרים לא הגיוניים יותר מאשר מספרים רציונליים. מספרים לא הגיוניים אחרים כוללים פאי ו ה.

ניתן לכתוב כל מספר אמיתי כמו עשרוני. לסוגים שונים של מספרים אמיתיים יש סוגים שונים של הרחבות עשרוניות. ההתרחבות העשרונית של מספר רציונאלי מסתיימת, כגון 2, 3.25, או 1.2342, או חזרה, כמו .33333.. . או .123123123.. . לעומת זאת, ההתרחבות העשרונית של מספר לא רציונאלי הינה בלתי-סופגת ואינה חוזרת. אנו יכולים לראות זאת בהרחבה העשרונית של pi. יש מחרוזת ספרות בלתי נגמרת עבור pi, ויתרה מכך, אין מחרוזת ספרות שחוזרת על עצמה ללא הגבלת זמן.

ניתן להמחיש את המספרים האמיתיים על ידי שיוך כל אחד מהם לאחת ממספר הנקודות האינסופי לאורך קו ישר. למספרים האמיתיים יש סדר, כלומר עבור כל שני מספרים אמיתיים מובהקים אנו יכולים לומר שאחד גדול יותר מהשני. כמוסכמת, מעבר שמאלה לאורך קו המספרים האמיתי מתאים למספרים פחותים ופחות. מעבר ימינה לאורך קו המספרים האמיתי תואם למספרים גדולים וגדולים יותר.

המספרים האמיתיים מתנהגים כמו מספרים אחרים שאנחנו רגילים להתמודד איתם. אנו יכולים להוסיף, לחסר, להכפיל ולחלק אותם (כל עוד לא נחלק באפס). סדר התוספת והכפל אינו חשוב, שכן יש נכס קומוטטיבי. מאפיין חלוקתי מספר לנו כיצד הכפל והתוספת מתקשרים זה עם זה.

כאמור, למספרים האמיתיים יש סדר. בהינתן שני מספרים אמיתיים איקס ו yאנו יודעים שאחד והיחיד מבין הדברים הבאים נכון:

איקס = y, איקס < y או איקס > y.

המאפיין שמבדיל את המספרים האמיתיים מסטים אחרים של מספרים, כמו המונחים, הוא מאפיין המכונה שלמות. השלמות היא מעט טכנית להסביר, אך הרעיון האינטואיטיבי הוא שלמערכת המספרים הרציונליים יש פערים בה. לקבוצת המספרים האמיתיים אין פערים, מכיוון שהיא שלמה.

לשם המחשה, נראה את רצף המספרים הרציונליים 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. כל מונח ברצף זה הוא קירוב ל- pi, המתקבל על ידי גזירת ההרחבה העשרונית עבור pi. התנאים של רצף זה מתקרבים יותר ל pi. עם זאת, כפי שציינו, pi אינו מספר רציונאלי. עלינו להשתמש במספרים לא הגיוניים בכדי לחבר את החורים בשורת המספרים המתרחשים על ידי התחשבות במספרים הרציונליים בלבד.

אין להתפלא שיש מספר אינסופי של מספרים אמיתיים. ניתן לראות זאת די בקלות כאשר אנו לוקחים בחשבון שמספרים שלמים מהווים קבוצת משנה של המספרים האמיתיים. אנו יכולים לראות זאת גם על ידי הבנתנו שלשורת המספרים יש מספר אינסופי של נקודות.

מה שמפתיע הוא שהאינסוף שמשמש לספירת המספרים האמיתיים הוא מסוג שונה מזה האינסוף שמשמש לספירת המספרים השלמים. מספרים שלמים, מספרים שלמים ורציונלים הם אין סופיים. קבוצת המספרים האמיתיים היא אינסופית.

מספרים אמיתיים מקבלים את שמם כדי להבדיל אותם מהכללה נוספת עוד יותר למושג המספר. המספר הדמיוני אני מוגדר כשורש הריבועי של השלילי. כל מספר אמיתי כפול אני ידוע גם כמספר דמיוני. מספרים דמיוניים בהחלט מותחים את תפיסת המספר שלנו, מכיוון שהם בכלל לא מה שחשבנו עליו כשלמדנו לראשונה לספור.