מדוע אפס פקטוריאלי שווה אחד?

בית חרושת אפס הוא ביטוי מתמטי למספר הדרכים לסידור מערך נתונים ללא ערכים בתוכו, השווה לאחד. באופן כללי, ה- מפעל של מספר הוא דרך קצרה לכתוב ביטוי כפל שבו המספר מוכפל בכל מספר שהוא פחות ממנו אבל גדול מאפס. 4! = 24, למשל, זהה לכתיבה של 4 x 3 x 2 x 1 = 24, אך משתמשים בסימן קריאה מימין למספר המפעל (ארבע) כדי לבטא את אותה משוואה.

די ברור מהדוגמאות הללו כיצד לחשב את המפעל של כל מספר שלם הגדול מ או שווה לאחד, אך מדוע הערך של אפס עובדתי למרות הכלל המתמטי שכל דבר כפול אפס שווה לאפס?

ההגדרה של בית החרם קובעת ש- 0! = 1. זה בדרך כלל מבלבל אנשים בפעם הראשונה שהם רואים משוואה זו, אך נראה בהמשך דוגמאות לכך הגיוני כשמסתכלים על ההגדרה, תמריצים ונוסחאות לאפס מפעל.

הסיבה הראשונה לכך שמפעל מפעל אפס שווה לזה היא שזה מה שההגדרה אומרת שהיא צריכה להיות, וזה הסבר נכון מבחינה מתמטית (אם הסבר קצת לא מספק). עם זאת, יש לזכור כי ההגדרה של בית חרושת היא תוצר של מספרים שלמים השווים לערך פחות או יותר לערך מספר מקורי - במילים אחרות, בית חרושת הוא מספר הצירופים האפשריים עם מספרים פחות או שווים לזה מספר.

מכיוון שאפס אין מספרים פחותים ממנו אבל הוא עדיין בפני עצמו מספר, יש רק שילוב אפשרי אחד של האופן בו ניתן לארגן את מערך הנתונים: זה לא יכול. זה עדיין נחשב כדרך לסדר אותו, ולכן בהגדרה, מפעל אפס שווה לזה, בדיוק כמו 1! שווה לזה מכיוון שיש רק סידור אפשרי יחיד של מערך הנתונים הזה.

להבנה טובה יותר של האופן שבו זה הגיוני במתמטיקה, חשוב לציין כי בתי חרושת כמו אלה משמשים לקביעת סדרי מידע אפשריים ב- רצף, המכונה גם פרמוטציות, שיכולות להיות שימושיות להבנה שלמרות שאין ערכים בערכה ריקה או אפסית, עדיין קיימת דרך אחת שהסט היא מסודרים.

א פרמוטציה הוא סדר ייחודי של אלמנטים בערכה. לדוגמה, יש שש פרמוטציות של הסט {1, 2, 3}, המכילות שלושה אלמנטים, מכיוון שאנחנו עשויים לכתוב אלמנטים אלה בשש הדרכים הבאות:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

אנו יכולים גם לומר עובדה זו דרך המשוואה 3! = 6, המהווה ייצוג עובדתי של מכלול התמורות. באופן דומה, יש 4! = 24 פרמוטציות של סט עם ארבעה אלמנטים ו -5! = 120 פרמוטציות של קבוצה עם חמישה אלמנטים. אז דרך חלופית לחשוב על המפעל היא לאפשר n להיות מספר טבעי ולומר את זה n! הוא מספר הפרמוטציות לקבוצה עם n אלמנטים.

עם דרך זו לחשוב על המפעל, בואו נסתכל על עוד כמה דוגמאות. סט עם שני אלמנטים יש ל שתי פרמוטציות: {א, ב} ניתן לסדר כ-, b או כ- b, א. זה תואם 2! = 2. לסט עם אלמנט אחד יש פרמוטציה יחידה, שכן ניתן להזמין את האלמנט 1 בערכה {1} בצורה אחת בלבד.

זה מביא אותנו לאפס מפעל. הסט עם אפס אלמנטים נקרא סט ריק. כדי למצוא את הערך של אפס מפעל, אנו שואלים, "כמה דרכים אנו יכולים להזמין קבוצה ללא אלמנטים?" כאן עלינו למתוח קצת את החשיבה. למרות שאין מה להכניס סדר, יש דרך אחת לעשות זאת. כך יש לנו 0! = 1.

סיבה נוספת להגדרת תשחץ 0! = 1 קשור לפורמולות שאנו משתמשים בהן לפרמוטציות ושילובים. זה לא מסביר מדוע מפעל אפס הוא אחד, אך זה מראה מדוע קביעת 0! = 1 זה רעיון טוב.

שילוב הוא קיבוץ אלמנטים של סט ללא התחשבות בסדר. לדוגמה, שקול את הסט {1, 2, 3}, שבו יש שילוב אחד המורכב משלושת האלמנטים. לא משנה איך אנו מסדרים את האלמנטים הללו, אנו בסופו של דבר עם אותו שילוב.

אנו משתמשים הנוסחה לשילובים בשילוב של שלושה אלמנטים שצולמו שלושה בכל פעם ורואים ש- 1 = ג (3, 3) = 3!/(3! 0!), ואם נתייחס ל- 0! ככמות לא ידועה ופתור באופן אלגברי, אנו רואים ש -3! 0! = 3! וכך 0! = 1.

ישנן סיבות אחרות מדוע ההגדרה של 0! = 1 נכון, אך הסיבות למעלה הן הכי פשוטות. הרעיון הכללי במתמטיקה הוא שכאשר נבנים רעיונות והגדרות חדשים הם נשארים עולה בקנה אחד עם מתמטיקה אחרת, וזה בדיוק מה שאנחנו רואים בהגדרת אפס המפעל שווה לאחד.