מבוא לפונקציית הדלתא של דירק

פונקציית ה- Delta delta הוא השם שניתן למבנה מתמטי שנועד לייצג אובייקט נקודה אידיאלי, כמו מסת נקודה או מטען נקודה. יש לו יישומים רחבים בתחום מכניקת הקוונטים ושאר פיזיקה קוונטיתכפי שהוא משמש בדרך כלל בתוך הקוונטים תפקוד גלים. פונקציית הדלתא מיוצגת עם סמל הדלתא הקטנה ביוונית, שנכתב כפונקציה: δ (איקס).

ייצוג זה מושג על ידי הגדרת פונקציית ה- Delta delta כך שיש לו ערך של 0 בכל מקום פרט לערך הקלט של 0. בשלב זה הוא מייצג דוקרן שהוא גבוה עד אינסוף. האינטגרל שהשתלט על כל הקו שווה ל -1. אם למדת חשבון, סביר להניח שנתקלת בתופעה זו בעבר. קחו בחשבון שמדובר במושג שמוצג בדרך כלל לסטודנטים לאחר שנים של לימודים ברמת המכללה בפיזיקה תיאורטית.

במילים אחרות, התוצאות הינן הבאות עבור פונקציית הדלתא הבסיסית ביותר δ (איקס), עם משתנה חד ממדי איקסעבור כמה ערכי קלט אקראיים:

• δ(5) = 0
• δ(-20) = 0
• δ(38.4) = 0
• δ(-12.2) = 0
• δ(0.11) = 0
• δ(0) = ∞

אתה יכול לשנות את גודל הפונקציה על ידי הכפלת אותה בקבוע. על פי כללי החשבון, הכפלת ערך קבוע תגדיל גם את ערך האינטגרל באותו גורם קבוע. מאז האינטגרל של δ (איקס) על כל המספרים האמיתיים הוא 1, ואז להכפיל אותו בקבוע של היה אינטגרל חדש שווה לאותו קבוע. אז, למשל, 27δ (

דבר שימושי נוסף שיש לקחת בחשבון הוא שמכיוון שלפונקציה יש ערך שאינו אפס רק עבור קלט של 0, אז אם אתה מסתכל רשת קואורדינטות שבה הנקודה שלך אינה מסודרת ממש ב- 0, ניתן לייצג את זה עם ביטוי בתוך קלט הפונקציה. אז אם אתה רוצה לייצג את הרעיון שהחלקיק נמצא במצב איקס = 5, אז היית כותב את פונקציית ה- Dirac delta כ δ (x - 5) = ∞ [מאז δ (5 - 5) = ∞].

אם ברצונך להשתמש בפונקציה זו כדי לייצג סדרה של חלקיקי נקודה בתוך מערכת קוונטית, אתה יכול לעשות זאת על ידי הוספת יחדיו פונקציות דירקטה שונות. לדוגמה קונקרטית, ניתן לייצג פונקציה עם נקודות ב x = 5 ו- x = 8 כ δ (x - 5) + δ (x - 8). אם היית לוקח אינטגרל של פונקציה זו על כל המספרים, היית מקבל אינטגרל זה מייצג מספרים אמיתיים, למרות שהפונקציות הן 0 בכל המיקומים חוץ מהשניים שם הם נקודות. לאחר מכן ניתן להרחיב את המושג הזה לייצג חלל עם שניים או שלושה ממדים (במקום המקרה החד מימדי בו השתמשתי בדוגמאות שלי).

זוהי הקדמה קצרה להודות בנושא מורכב מאוד. הדבר המרכזי להבין זאת הוא שפונקציית הדלתא של הדראק למעשה קיימת למטרה היחידה להפוך את שילוב הפונקציה לגיוני. כאשר אין אינטגרציה שמתרחשת, הנוכחות של פונקציית ה- Dirac delta אינה מועילה במיוחד. אבל בפיזיקה, כשאתה מתמודד עם נסיעה מאזור ללא חלקיקים שקיימים פתאום בנקודה אחת בלבד, זה די מועיל.

בספרו משנת 1930, עקרונות מכניקת הקוונטים, פיזיקאי תיאורטי באנגלית פול דיראק פרש את מרכיבי המפתח במכניקת הקוונטים, כולל סימון החזיית קט וגם פונקציית ה- Dirac delta שלו. אלה הפכו למושגים סטנדרטיים בתחום מכניקת הקוונטים בתוך משוואת שרדינגר.