הסתברות של ישר גדול ביצהי בסיבוב אחד

Yahtzee הוא משחק קוביות המשתמש בחמישה קוביות סטנדרטיות בעלות שישה צדדים. בכל סיבוב מקבלים לשחקנים שלוש לחמניות כדי להשיג מספר יעדים שונים. לאחר כל רול, שחקן רשאי להחליט אילו מהקוביות (אם יש כאלה) שיישמרו ואילו יש להחליף מחדש. היעדים כוללים מגוון סוגים שונים של שילובים, שרבים מהם נלקחים מהפוקר. כל שילוב מסוג אחר שווה כמות שונה של נקודות.

שניים מסוגי השילובים שעל שחקנים לגלגל נקראים סטרייטים: ישר קטן וישר גדול. כמו ישר פוקר, שילובים אלה מורכבים מקוביות רצופות. ישירות קטנות מעסיקות ארבע מחמשת הקוביות וסטרייטים גדולים משתמשים בכל חמשת הקוביות. בגלל האקראיות של גלגול הקוביות ניתן להשתמש בהסתברות לניתוח עד כמה סביר לגלגל ישר גדול בתוך גליל בודד.

אנו מניחים שהקוביות בהן נעשה שימוש הוגנות ובלתי תלויות זו בזו. כך יש חלל מדגם אחיד המורכב מכל הגלילים האפשריים של חמשת הקוביות. למרות ש- Yahtzee מאפשרת שלוש לחמניות, לשם הפשטות נשקול רק את המקרה שאנחנו משיגים ישר גדול בתוך גליל בודד.

מכיוון שאנו עובדים עם א מדיםשטח מדגם, חישוב ההסתברות שלנו הופך לחישוב של כמה בעיות ספירה. ההסתברות של ישר היא מספר הדרכים לגלגל ישר, מחולק במספר התוצאות במרחב המדגם.

קל מאוד לספור את מספר התוצאות במרחב המדגם. אנו מגלגלים חמש קוביות וכל אחת מהקוביות יכולה להיות אחת משש תוצאות שונות. יישום בסיסי של עקרון הכפל אומר לנו שבחלל המדגם יש 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 תוצאות. מספר זה יהיה המכנה של כל השברים בהם אנו משתמשים לצורך ההסתברויות שלנו.

בשלב הבא עלינו לדעת כמה דרכים יש לגלגל ישר גדול. זה קשה יותר מחישוב גודל שטח המדגם. הסיבה שזה קשה יותר היא מכיוון שיש יותר דקויות באיך אנו סופרים.

סטרייט גדול קשה יותר לגלגל מאשר ישר קטן, אך קל יותר לספור את מספר הדרכים לגלגל ישר גדול מאשר את מספר הדרכים לגלגל ישר קטן. סוג ישר זה מורכב מחמישה מספרים רצופים. מכיוון שיש רק שישה מספרים שונים על הקוביות, ישנם רק שני ישרים גדולים אפשריים: {1, 2, 3, 4, 5} ו- {2, 3, 4, 5, 6}.

כעת אנו קובעים את מספר הדרכים השונות לגלגל קבוצה מסוימת של קוביות שנותנות לנו ישר. עבור ישר גדול עם הקוביות {1, 2, 3, 4, 5} אנו יכולים לקבל את הקוביות בכל סדר. להלן דרכים שונות לגלגל אותו ישר:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

זה מייגע לפרט את כל הדרכים האפשריות להשיג 1, 2, 3, 4 ו- 5. מכיוון שאנו רק צריכים לדעת כמה דרכים יש לעשות זאת, אנו יכולים להשתמש בכמה טכניקות ספירה בסיסיות. נציין שכל מה שאנחנו עושים זה מחלחל חמשת הקוביות. יש 5! = 120 דרכים לעשות זאת. מכיוון שיש שני שילובים של קוביות לייצור ישר גדול ו -120 דרכים לגלגל כל אחת מאלו, ישנן 2 x 120 = 240 דרכים לגלגל ישר גדול.

כעת ההסתברות לגלגל ישר גדול היא חישוב חלוקה פשוט. מכיוון שיש 240 דרכים לגלגל ישר גדול בתוך גליל בודד ויש 7776 גלילים של חמש ככל שניתן לקוביות, ההסתברות לגלגל ישר גדול היא 240/7776, הקרובה ל- 1/32 ו 3.1%.

כמובן שסביר להניח שהגליל הראשון אינו סטרייט. אם זה המקרה, מותר לנו עוד שתי לחמניות מה שהופך ישר הרבה יותר סביר. ההסתברות לכך מורכבת הרבה יותר לקביעה בגלל כל המצבים האפשריים שצריך לקחת בחשבון.