מהי הגישה הרגילה להפצה בינומית?

משתנים אקראיים עם חלוקה בינומית ידועים שהם בדידים. המשמעות היא שיש מספר תוצאות תוצאות שיכולות להתרחש בהתפלגות בינומית, עם הפרדה בין תוצאות אלה. למשל משתנה בינומי יכול לקחת ערך של שלוש או ארבע, אך לא מספר בין שלוש לארבע.

עם האופי הדיסקרטי של התפלגות בינומית, זה קצת מפתיע שאפשר להשתמש במשתנה אקראי רציף כדי להתקרב לפיזור בינומי. לרבים התפלגויות בינומיות, אנו יכולים להשתמש בהתפלגות רגילה בכדי לקרב את ההסתברויות הבינומיות שלנו.

ניתן לראות זאת כאשר מסתכלים על n מטילי זריקות ומטבעות איקס להיות מספר הראשים. במצב זה, יש לנו התפלגות בינומית עם הסתברות להצלחה ע = 0.5. ככל שאנחנו מגדילים את מספר ההזרקות, אנו רואים שההסתברות היסטוגרמה דמיון יותר ויותר לחלוקה נורמלית.

כל התפלגות רגילה מוגדרת על ידי שניים לחלוטין מספרים אמיתיים. המספרים הללו הם הממוצע, המודד את מרכז ההתפלגות, ואת סטיית תקן, המודד את התפשטות התפוצה. למצב בינומי נתון אנו צריכים להיות מסוגלים לקבוע באיזו חלוקה נורמלית להשתמש.

בחירת החלוקה הנורמלית הנכונה נקבעת על פי מספר הניסויים n במסגרת הבינומית וההסתברות המתמדת להצלחה

לדוגמה, נניח שהנחשנו על כל אחת ממאה השאלות של מבחן רב ברירה, כאשר לכל שאלה הייתה תשובה אחת נכונה מתוך ארבע אפשרויות. מספר התשובות הנכונות איקס הוא משתנה אקראי בינומי עם n = 100 ו ע = 0.25. לפיכך משתנה אקראי זה ממוצע של 100 (0.25) = 25 וסטיית תקן של (100 (0.25) (0.75))^0.5 = 4.33. התפלגות רגילה עם ממוצע 25 וסטיית תקן של 4.33 תפעל לקירוב חלוקה בינומית זו.

על ידי שימוש במתמטיקה מסוימת ניתן להראות שיש כמה תנאים שאנו צריכים להשתמש בקירוב רגיל ל התפלגות הבינומית. מספר התצפיות n חייב להיות גדול מספיק, והערך של ע כך ששניהם np ו n(1 - ע) גדולים או שווים ל -10. זהו כלל אצבע, שמונחה על ידי תרגול סטטיסטי. תמיד ניתן להשתמש בקירוב הרגיל, אך אם לא מתקיימים בתנאים אלה יתכן והקירוב לא יהיה טוב ככל שיהיה בקירוב.

לדוגמה, אם n = 100 ו ע = 0.25 אז אנו מוצדקים להשתמש בקירוב הרגיל. זה בגלל ש np = 25 ו n(1 - ע) = 75. מכיוון ששני המספרים הללו גדולים מ- 10, ההתפלגות הנורמלית המתאימה תעשה עבודה טובה למדי בהערכת ההסתברות הבינומית.

ההסתברויות הבינומיות מחושבות על ידי נוסחה מאוד פשוטה למציאת המקדם הבינומי. למרבה הצער, בגלל בתי חרושת בנוסחה, קל מאוד להיתקל בקשיים חישוביים עם בינומיאל נוסחה. הקירוב הרגיל מאפשר לנו לעקוף כל אחת מהבעיות הללו על ידי עבודה עם חבר מוכר, טבלת ערכים של התפלגות רגילה רגילה.

פעמים רבות קביעה של הסתברות שמשתנה אקראי בינומי נופל בטווח של ערכים מייגעת לחישוב. הסיבה לכך היא כדי למצוא את ההסתברות שמשתנה בינומי איקס גדול מ- 3 ופחות מ -10, היינו צריכים למצוא את ההסתברות לכך איקס שווה 4, 5, 6, 7, 8 ו 9, ואז להוסיף את כל ההסתברויות הללו יחד. אם ניתן להשתמש בקירוב הרגיל, עלינו במקום זאת לקבוע את ציוני z המתאימים ל -3 ו -10 ואז להשתמש בטבלת ציוני z של הסתברויות עבור תפוצה רגילה רגילה.