השונות של התפלגות משתנה אקראי היא תכונה חשובה. מספר זה מציין את התפשטות ההתפלגות, והוא נמצא על ידי ריבוע ה- סטיית תקן. אחד שנמצא בשימוש נפוץ הפצה היא זו של התפלגות פואסון. נראה כיצד לחשב את השונות של התפלגות פויסון עם הפרמטר λ.
הפצת פויסון
הפצות של פויסון משמשות כשיש לנו רצף מסוג כלשהו וסופרים שינויים נפרדים ברצף זה. זה קורה כאשר אנו שוקלים את מספר האנשים המגיעים לדלפק כרטיסים לקולנוע במהלך שעה, עוקבים אחריו מספר המכוניות העוברות בצומת עם עצירה ארבע כיוונית או סופרות את מספר הפגמים המתרחשים באורך של חוט.
אם נקבל כמה הנחות מבהירות בתרחישים אלה, אז מצבים אלה תואמים את התנאים לתהליך של פויסון. לאחר מכן אנו אומרים כי למשתנה האקראי, אשר סופר את מספר השינויים, יש חלוקת פויסון.
חלוקת פויסון מתייחסת למעשה למשפחה אינסופית של חלוקות. הפצות אלה מצוידות בפרמטר בודד λ. הפרמטר הוא חיובי מספר ממשי זה קשור קשר הדוק למספר השינויים הצפוי שנצפה ברצף. יתר על כן, נראה כי פרמטר זה שווה לא רק ל- מתכוון של ההתפלגות אבל גם השונות של ההתפלגות.
פונקציית מסת ההסתברות לפיזור פויסון ניתנת על ידי:
ו(איקס) = (λאיקסה-λ)/איקס!
בביטוי זה, המכתב ה הוא מספר והוא הקבוע המתמטי עם ערך שווה בערך ל- 2.718281828. המשתנה איקס יכול להיות כל מספר שלם לא שלילי.
חישוב השונות
כדי לחשב את הממוצע של חלוקת פויסון, אנו משתמשים בתפוצה זו פונקצית יצירת רגעים. אנחנו רואים ש:
M( t ) = E [הtX] = Σ הtXו( איקס) = ΣהtX λאיקסה-λ)/איקס!
אנו נזכרים כעת בסדרה Maclaurin עבור הu. מאז כל נגזרת של הפונקציה הu הוא הu, כל הנגזרות הללו שנבדקו באפס נותנות לנו 1. התוצאה היא הסדרה הu = Σ un/n!.
באמצעות סדרת Maclaurin עבור הu, אנו יכולים לבטא את הפונקציה ליצירת הרגעים לא כסדרה, אלא בצורה סגורה. אנו משלבים את כל המונחים עם המפתח של איקס. לכן M(t) = הλ(הt - 1).
כעת אנו מוצאים את השונות על ידי לקיחת הנגזרת השנייה של M ולהעריך את זה באפס. מאז M’(t) =λהtM(t), אנו משתמשים בכללי המוצר כדי לחשב את הנגזרת השנייה:
M’’(t)=λ2ה2tM’(t) + λהtM(t)
אנו מעריכים זאת באפס ומגלים זאת M’’(0) = λ2 + λ. לאחר מכן אנו משתמשים בעובדה ש M'(0) = λ לחישוב השונות.
Var (איקס) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
זה מראה שהפרמטר λ הוא לא רק הממוצע של התפלגות פויסון אלא הוא גם השונות שלו.