מה זה חשבון? הגדרה ויישומים מעשיים

חשבון הוא ענף של מתמטיקה שכולל לימוד שיעורי שינוי. לפני שהומצא החשבון, כל המתמטיקה הייתה סטטית: זה יכול רק לעזור בחישוב אובייקטים שדמומים לחלוטין. אבל היקום כל הזמן נע ומשתנה. אין חפצים - מכוכבים בחלל ועד חלקיקים תת-אטומיים או תאים בגוף - לא נמצאים תמיד במנוחה. אכן, כמעט כל דבר ביקום נע ללא הרף. החשבון עשה עזר לקבוע כיצד חלקיקים, כוכבים וחומר אכן נעים ומשתנים בזמן אמת.

חשבון נעשה שימוש במספר רב של שדות שלא הייתם חושבים שבדרך כלל יעשו שימוש במושגים שלו. ביניהם: פיזיקה, הנדסה, כלכלה, סטטיסטיקה ורפואה. חשבון משמש גם באזורים שונים זה מזה כמו נסיעה בחלל, כמו גם לקביעת האופן שבו תרופות מתקשרות עם הגוף, ואפילו כיצד לבנות מבנים בטוחים יותר. תבינו מדוע החשבון הוא שימושי בכל כך הרבה תחומים אם אתם יודעים מעט על ההיסטוריה שלו, כמו גם מה הוא נועד לעשות ולמדוד.

טעימות עיקריות: משפט יסודי של החשבון

החישוב פותח במחצית השנייה של המאה ה -17 על ידי שני מתמטיקאים, גוטפריד לייבניץ ו- אייזק ניוטון. ניוטון פיתח לראשונה חישוב והחיל אותו ישירות להבנת המערכות הפיזיות. באופן עצמאי, לייבניץ פיתח את הסימונים ששימשו בחשבון. במילים פשוטות, בעוד שמתמטיקה בסיסית משתמשת בפעולות כמו פלוס, מינוס, זמנים וחלוקה (+, -, x ו- ÷), החשבון משתמש בפעולות המעסיקות פונקציות ואינטגרלים לחישוב שיעורי שינוי.

כלים אלה אפשרו לניוטון, לייבניץ ומתמטיקאים אחרים שבאו אחר כך לחשב דברים כמו המדרון המדויק של עקומה בכל נקודה. סיפור המתמטיקה מסביר את חשיבות המשפט הבסיסי של ניוטון בחשבון.

"בשונה מהגיאומטריה הסטטית של היוונים, החישוב איפשר למתמטיקאים ומהנדסים להבין מה זה תנועה ושינוי דינמי בעולם המשתנה סביבנו, כמו מסלולי כוכבי לכת, תנועת נוזלים, וכו."

בעזרת חשבון, מדענים, אסטרונומים, פיסיקאים, מתמטיקאים וכימאים יכלו כעת לתאר את מסלול כוכבי הלכת והכוכבים, כמו גם את מסלול האלקטרונים והפרוטונים ברמה האטומית.

ישנם שני ענפי חשבון: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. "חישוב דיפרנציאלי חוקר את מחקרי הנגזר והאינטגרל... את האינטגרל", מציין המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס. אבל יש בזה יותר מזה. חישוב דיפרנציאלי קובע את קצב השינוי של הכמות. הוא בוחן את שיעורי שינוי המדרונות והעקומות.

ענף זה עוסק במחקר של שיעור שינוי הפונקציות ביחס למשתנים שלהם, במיוחד באמצעות נגזרים והפרשים. הנגזרת היא שיפוע הקו בתרשים. אתה מוצא את שיפוע הקו על ידי חישוב ה- לעלות בריצה.

חשבון אינטגרלילעומת זאת, מבקש למצוא את הכמות בה ידוע קצב השינוי. ענף זה מתמקד במושגים כמו מדרונות של קווי משיקים ומהירויות. בעוד שחשבון דיפרנציאלי מתמקד בעקומה עצמה, חשבון מחשב אינטגרלי נוגע לעצמו במרחב או באזור תחת העקומה. מחשבוני אינטגרלי משמשים לאיתור הגודל או הערך הכולל, כגון אורכים, שטחים ונפחים.

חשבון התחיל תפקיד אינטגרלי ב- פיתוח ניווט במאות ה -17 וה -18 מכיוון שהוא איפשר למלחים להשתמש בעמדת הירח כדי לקבוע במדויק את השעה המקומית. כדי לתאר את מיקומם בים, נווטים היו צריכים להיות מסוגלים למדוד את זמן וזוויות בדיוק בדיוק. לפני פיתוח החשבון, נווטי ספינות וקברניטים לא יכלו לעשות זאת.

חישוב - נגזר וגם אינטגרלי - עזר לשיפור ההבנה של מושג חשוב זה מבחינת עקומת כדור הארץ, ספינות למרחק נאלצו להסתובב סביב עקומה כדי להגיע למיקום ספציפי, ואפילו יישור כדור הארץ, הימים והספינות ביחס ל כוכבים.

לחשבון יש יישומים מעשיים רבים בחיים האמיתיים. חלק מה מושגים המשתמשים בחשבון כוללים תנועה, חשמל, חום, אור, הרמוניות, אקוסטיקה ואסטרונומיה. החשבון נעשה בשימוש בגיאוגרפיה, ראיית מחשב (כגון לנהיגה אוטונומית של מכוניות), צילום, בינה מלאכותית, רובוטיקה, משחקי וידאו ואפילו סרטים. חשבון משמש גם כדי לחשב את שיעורי ההתפרקות הרדיואקטיבית בכימיה, ואפילו כדי לחזות שיעורי לידה ומוות, כמו גם במחקר כוח הכבידה והתנועה הפלנטרית, זרימת נוזלים, תכנון ספינות, עקומות גיאומטריות והנדסת גשרים.

בפיזיקה, למשל, משתמשים בחשבון כדי לסייע בהגדרת, הסבר וחישוב תנועה, חשמל, חום, אור, הרמוניות, אקוסטיקה, אסטרונומיה ודינמיקה. תורת היחסות של איינשטיין מסתמכת על חשבון, תחום מתמטיקה שעוזר גם לכלכלנים לחזות כמה רווח יכולה חברה או תעשיה להרוויח. ובתוך בניית ספינות, נעשה שימוש בחישוב במשך שנים רבות לקביעת שניהם של עקומת גוף האוניה (באמצעות דיפרנציאל) חישוב), כמו גם השטח שמתחת לגוף (תוך שימוש בחשבון אינטגרלי), ואפילו בתכנון הכללי של אוניות.

בנוסף, נעשה שימוש בחשבון כדי לבדוק תשובות על תחומים מתמטיים שונים כמו סטטיסטיקה, גיאומטריה אנליטית ואלגברה.

כלכלנים משתמשים בחשבון כדי לחזות היצע, ביקוש, ורווחים פוטנציאליים מקסימליים. אחרי הכל, ההיצע והביקוש מתמצים בעקומה על עקומה - ועקומה המשתנה ללא הרף.

כלכלנים משתמשים בחשבון כדי לקבוע את גמישות מחירים של ביקוש. הם מתייחסים לעקומת ההיצע והביקוש המשתנה ללא הרף כאלסטיות, ולפעולות העקומה כאלסטיות. לחשב מידה מדויקת של גמישות אצל מסוים הצבע על עקומת היצע או ביקוש, אתה צריך לחשוב על שינויים קטנים באופן אינסופי במחיר, וכתוצאה מכך, לשלב נגזרות מתמטיות בגמישות שלך נוסחאות. חשבון מאפשר לך לקבוע נקודות ספציפיות באותו עקום היצע וביקוש המשתנה ללא הרף.

"סיכום חשבון." מכון טכנולוגי של מסצ'וסטס, 10 בינואר 2000, קיימברידג ', MA.