חשוב לדעת לחשב את ההסתברות לאירוע. סוגים מסוימים של אירועים בהסתברות נקראים עצמאיים. כשיש לנו זוג אירועים עצמאיים, לפעמים אנו עשויים לשאול, "מה ההסתברות ששני האירועים הללו מתרחשים?" במצב זה, אנו יכולים פשוט להכפיל את שתי ההסתברויות שלנו יחד.
נראה כיצד להשתמש בכלל הכפל לאירועים עצמאיים. לאחר שעברנו על היסודות, נראה את הפרטים של כמה חישובים.
נפתח בהגדרה של אירועים עצמאיים. בתוך הסתברות, שני אירועים אינם תלויים אם תוצאת אירוע אחד אינה משפיעה על תוצאת האירוע השני.
דוגמה טובה לזוג אירועים עצמאיים היא כשאנחנו מגלגלים מטה ואז מניפים מטבע. למספר המוצג על המיטה אין השפעה על המטבע שהושלך. לכן שני אירועים אלה אינם תלויים.
דוגמה לזוג אירועים שאינם עצמאיים היא המין של כל תינוק בקבוצת תאומים. אם התאומים זהים, אז שניהם יהיו זכר, או שניהם יהיו נקבים.
כלל הכפל לאירועים עצמאיים קושר את ההסתברויות לשני אירועים להסתברות ששניהם מתרחשים. על מנת להשתמש בכלל, עלינו להיות בעלי ההסתברויות של כל אחד מהאירועים העצמאיים. בהתחשב באירועים אלה, כלל הכפל קובע את ההסתברות ששני האירועים מתרחשים נמצא על ידי הכפלת ההסתברויות של כל אירוע.
ציין אירועים א ו ב וההסתברויות של כל אחד P (A) ו P (B). אם א ו ב הם אירועים עצמאיים, אם כן:
גרסאות מסוימות של נוסחה זו משתמשות אפילו יותר בסמלים. במקום המילה "ו-" נוכל במקום זאת להשתמש בסמל הצומת: ∩. לפעמים הנוסחה הזו משמשת כהגדרה של אירועים עצמאיים. אירועים הם עצמאיים אם ורק אם P (א ו B) = P (A) איקס P (B).
נראה כיצד להשתמש בכלל הכפל על ידי התבוננות בכמה דוגמאות. ראשית נניח שאנחנו מגלגלים למות שש-צדדיות ואז נהפוך מטבע. שני האירועים הללו אינם תלויים. ההסתברות לגלגל 1 היא 1/6. ההסתברות של ראש היא 1/2. ההסתברות לגלגל 1 ו להשיג ראש זה 1/6 על 1/2 = 1/12.
אם אנו נוטים להיות סקפטיים לגבי תוצאה זו, הדוגמה הזו קטנה דיה לכל התוצאות ניתן לרשום: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, ת)}. אנו רואים שיש שנים עשר תוצאות, שכולן עלולות באותה מידה להתרחש. לכן ההסתברות של 1 וראש היא 1/12. כלל הכפל היה יעיל בהרבה מכיוון שהוא לא חייב אותנו לרשום את שטח המדגם כולו.
לדוגמא השנייה, נניח שאנחנו מציירים כרטיס מ- a סיפון רגילהחלף כרטיס זה, ערבב את הסיפון ואז צייר שוב. לאחר מכן אנו שואלים מהי ההסתברות ששני הקלפים הם מלכים. מאז שציירנו עם החלפה, אירועים אלה אינם תלויים וכלל הכפל חל.
ההסתברות לצייר מלך עבור הקלף הראשון היא 1/13. ההסתברות לציור מלך בתיקו השני היא 1/13. הסיבה לכך היא שאנחנו מחליפים את המלך שציירנו מהפעם הראשונה. מכיוון שאירועים אלה אינם תלויים, אנו משתמשים בכלל הכפל כדי לראות שההסתברות לשרטוט שני מלכים ניתנת על ידי המוצר הבא 1/13 x 1/13 = 1/169.
אם לא היינו מחליפים את המלך, אז היה לנו מצב אחר בו האירועים לא יהיו עצמאיים. ההסתברות לצייר מלך בכרטיס השני תושפע מתוצאת הכרטיס הראשון.