ערך צפוי של חלוקה בינומית

התפלגויות בינומיות הם סוג חשוב של דיסקרטיות התפלגויות הסתברות. הפצות מסוגים אלה הם סדרה של n ניסויים ברנולי עצמאיים, שלכל אחד מהם הסתברות קבועה ע של הצלחה. כמו בכל חלוקת הסתברות, נרצה לדעת מה המשמעות או המרכז שלה. לשם כך אנו באמת שואלים, "מה זה ערך צפוי של התפוצה הבינומית? "

אם נחשוב בזהירות על א התפלגות הבינומית, לא קשה לקבוע כי הצפוי ערך של סוג זה של חלוקת הסתברות הוא np. לכמה דוגמאות מהירות לכך, שקול את הדברים הבאים:

• אם נזרוק 100 מטבעות, ו איקס הוא מספר הראשים, הערך הצפוי של איקס הוא 50 = (1/2) 100.
• אם אנו מבצעים מבחן עם בחירה מרובה עם 20 שאלות ולכל שאלה יש ארבע אפשרויות (רק אחת מהן וזה נכון), ואז ניחוש באקראי פירושו שנצפה לקבל (1/4) 20 = 5 שאלות נכון.

בשתי הדוגמאות הללו אנו רואים זאת E [X] = n p. בקושי שני מקרים מספיקים כדי להגיע למסקנה. למרות שהאינטואיציה היא כלי טוב להדריך אותנו, זה לא מספיק כדי ליצור טיעון מתמטי ולהוכיח שמשהו נכון. כיצד ניתן להוכיח באופן סופי כי הערך הצפוי של תפוצה זו אכן np?

מהגדרת הערך הצפוי ופונקציית מסת ההסתברות עבור התפלגות הבינומית של n ניסויים של הסתברות להצלחה

אנו מתחילים בשימוש בנוסחה:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) עמ '^איקס(1-p)^{n - x}.

מכיוון שכל מונח של הסיכום מוכפל על ידי איקס, ערך המונח המתאים x = 0 יהיה 0, וכך נוכל למעשה לכתוב:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) עמ ' ^איקס (1 - p) ^{n - x} .

על ידי מניפולציה של בתי החרושת המעורבים בביטוי ל C (n, x) אנחנו יכולים לכתוב מחדש

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

זה נכון מכיוון ש:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / ((( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

מכאן נובע:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) עמ ' ^איקס (1 - p) ^{n - x} .

אנו מגדירים את n ואחד ע מהביטוי לעיל:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) עמ ' ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

שינוי משתנים r = x - 1 נותן לנו:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) עמ ' ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

לפי הנוסחה הבינומית, (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} ניתן לכתוב את הסיכום שלמעלה:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

הטיעון לעיל עשה לנו דרך ארוכה. מההתחלה רק עם ההגדרה של ערך צפוי ופונקציה מסתית להתפלגות בינומית, הוכחנו שמה שהאינטואיציה שלנו אמרה לנו. הערך הצפוי של התפלגות הבינומיתB (n, p) הוא n p.