מה הרגעים בסטטיסטיקה?

רגעים בסטטיסטיקה מתמטית כרוכים בחישוב בסיסי. ניתן להשתמש בחישובים אלה למציאת הממוצע, השונות והשינויים של חלוקת ההסתברות.

נניח שיש לנו סט של נתונים עם סך הכל nבדידים נקודות. חישוב חשוב אחד, שהוא למעשה מספר מספרים, נקרא sהרגע ה. ה sהרגע הראשון של ערכת הנתונים עם הערכים איקס₁, איקס₂, איקס₃,..., איקס_n ניתנת על ידי הנוסחה:

(איקס₁^s + איקס₂^s + איקס₃^s +... + איקס_n^s)/n

השימוש בנוסחה זו מחייב אותנו להיזהר בסדר הפעולות שלנו. עלינו לעשות קודם את המרחבים, להוסיף ואז לחלק את הסכום הזה על ידי n המספר הכולל של ערכי נתונים.

התנאי רגע נלקח מהפיזיקה. בפיזיקה מחושב הרגע של מערכת מסות נקודה עם נוסחה זהה לזו שלמעלה, ונוסחה זו משמשת למציאת מרכז המסה של הנקודות. בסטטיסטיקה, הערכים אינם עוד המונים, אך כפי שנראה, רגעים בסטטיסטיקה עדיין מודדים משהו יחסית למרכז הערכים.

לרגע הראשון, קבענו s = 1. הנוסחה לרגע הראשון היא אפוא:

(איקס₁איקס₂ + איקס₃ +... + איקס_n)/n

זה זהה לנוסחה של המדגם מתכוון.

הרגע הראשון של הערכים 1, 3, 6, 10 הוא (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

לרגע השני שקבענו s = 2. הנוסחה לרגע השני היא:

(איקס₁² + איקס₂² + איקס₃² +... + איקס_n²)/n

הרגע השני של הערכים 1, 3, 6, 10 הוא (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

לרגע השלישי שקבענו s = 3. הנוסחה לרגע השלישי היא:

(איקס₁³ + איקס₂³ + איקס₃³ +... + איקס_n³)/n

הרגע השלישי של הערכים 1, 3, 6, 10 הוא (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

ניתן לחשב רגעים גבוהים יותר בצורה דומה. פשוט החלף s בנוסחה לעיל עם המספר המציין את הרגע הרצוי.

רעיון קשור הוא זה של sהרגע העניין ביחס לממוצע. בחישוב זה אנו מבצעים את הצעדים הבאים:

1. ראשית, חשב את הממוצע של הערכים.
2. בשלב הבא, גרעו ממוצע זה מכל ערך.
3. ואז העלה את כל ההבדלים הללו ל sכוח ה.
4. כעת הוסף את המספרים משלב מס '3 יחד.
5. לבסוף, חלקו את הסכום הזה במספר הערכים שאיתם התחלנו.

הנוסחה של sהרגע העניין ביחס לממוצע M מערכי הערכים איקס₁, איקס₂, איקס₃,..., איקס_n ניתן ע"י:

M_s = ((איקס₁ - M)^s + (איקס₂ - M)^s + (איקס₃ - M)^s +... + (איקס_n - M)^s)/n

הרגע הראשון לגבי הממוצע תמיד שווה לאפס, לא משנה מה מערך הנתונים שאנחנו עובדים איתו. ניתן לראות זאת בהמשך:

M₁ = ((איקס₁ - M) + (איקס₂ - M) + (איקס₃ - M) +... + (איקס_n - M))/n = ((איקס₁+ איקס₂ + איקס₃ +... + איקס_n) - ננומטר)/n = M - M = 0.

הרגע השני לגבי הממוצע מתקבל מהנוסחה לעיל על ידי הגדרהs = 2:

M₂ = ((איקס₁ - M)² + (איקס₂ - M)² + (איקס₃ - M)² +... + (איקס_n - M)²)/n

נוסחה זו שווה לזו עבור שונות הדגימה.

לדוגמה, שקול את הסט 1, 3, 6, 10. כבר חישבנו את הממוצע של סט זה ל -5. הפח את זה מכל אחד מערכי הנתונים כדי להשיג הבדלים בין:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

אנו מרובעים כל אחד מהערכים הללו ומוסיפים אותם יחד: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. סוף סוף חלק את המספר הזה במספר נקודות הנתונים: 46/4 = 11.5

כאמור, הרגע הראשון הוא הממוצע והרגע השני לגבי הממוצע הוא המדגם שונות. קארל פירסון הציג את השימוש ברגע השלישי ביחס לממוצע בחישוב שיפוט והרגע הרביעי בערך הממוצע בחישוב של קורטוזיס.