כיצד למצוא את ערך ההתחלה של פונקציה מעריכית

פונקציות אקספוננציאליות מספרות את סיפורי השינוי הנפיץ. שני סוגים של פונקציות מעריכיות הם צמיחה אקספוננציאלית ו ריקבון מעריכי. ארבעה משתנים - אחוז שינוי, זמן, הסכום בתחילת תקופת הזמן והסכום בסוף תקופת הזמן - ממלאים תפקידים בפונקציות מעריכיות. מאמר זה מתמקד כיצד למצוא את הסכום בתחילת תקופת הזמן, א.

צמיחה מעריכית: השינוי המתרחש כאשר כמות מקורית מוגברת בשיעור קבוע לאורך זמן

צמיחה מעריכית בחיים האמיתיים:

• ערכי מחירי הדירות
• ערכי השקעות
• חברות מוגברת לאתר פופולרי ברשתות חברתיות

להלן פונקציית צמיחה מעריכית:

y = א (1 + b)^איקס

• y: הסכום הסופי שנותר לאורך פרק זמן
• א: הסכום המקורי
• איקס: זמן
• ה גורם גדילה הוא (1 + ב).
• המשתנה, ב, הוא שינוי באחוזים בצורה עשרונית.

ריקבון מעריכי: השינוי שמתרחש כאשר סכום מקורי מופחת בשיעור קבוע לאורך זמן

ריקבון מעריכי בחיים האמיתיים:

• דחיית הקוראים בעיתון
• ירידת שבץ מוחי בארצות הברית
• מספר האנשים שנותרו בעיר מוכת הוריקן

להלן פונקציית דעיכה מעריכית:

y = א (1-ב)^איקס

• y: הסכום הסופי שנותר לאחר הריקבון לאורך פרק זמן
• א: הסכום המקורי
• איקס: זמן
• ה גורם ריקבון הוא (1-ב).
• המשתנה, ב, הוא ירידה באחוזים בצורה עשרונית.

בעוד שש שנים, אולי תרצה להמשיך לתואר ראשון באוניברסיטת דרים. עם תג מחיר של 120 אלף דולר, אוניברסיטת חלומות מעוררת אימהות כלכליות בלילה. אחרי לילות ללא שינה, אתה, אמא ואבא נפגשים עם מתכנן פיננסי. העיניים העקומות מדמם של ההורים שלך מתבהרות כשהמתכנן חושף השקעה עם קצב צמיחה של 8% שיכול לעזור למשפחתך להגיע ליעד של 120 אלף דולר. ללמוד קשה. אם אתה והוריך משקיעים היום 75,620.36 דולר, אוניברסיטת חלומות תהפוך למציאות שלך.

פונקציה זו מתארת ​​את הצמיחה האקספוננציאלית של ההשקעה:

120,000 = א(1 +.08)⁶

• 120,000: הסכום הסופי שנותר לאחר 6 שנים
• .08: קצב צמיחה שנתי
• 6: מספר השנים בהן ההשקעה גדלה
• א: הסכום הראשוני שמשפחתך השקיעה

רמז: בזכות המאפיין הסימטרי של שוויון, 120,000 = א(1 +.08)⁶ זהה ל א(1 +.08)⁶ = 120,000. (תכונה סימטרית של שוויון: אם 10 + 5 = 15, אז 15 = 10 +5.)

אם אתה מעדיף לשכתב את המשוואה עם הקבוע, 120,000, מימין למשוואה, עשה זאת.

א(1 +.08)⁶ = 120,000

אמנם, המשוואה לא נראית כמו משוואה ליניארית (6א = 120,000 $) אבל זה ניתן לפתור. להישאר עם זה!

א(1 +.08)⁶ = 120,000

היזהר: אל תפתור את המשוואה האקספוננציאלית הזו על ידי חלוקת 120,000 ב- 6. זה לא-לא מתמטיקה מפתה.

1. להשתמש סדר פעולות לפשט.

א(1 +.08)⁶ = 120,000

א(1.08)⁶ = 120,000 (Parenthesis)

א(1.586874323) = 120,000 (אקספקטנט)

2. לפתור על ידי חלוקה

א(1.586874323) = 120,000

א(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1א = 75,620.35523

א = 75,620.35523

הסכום המקורי, או הסכום שמשפחתך צריכה להשקיע, הוא כ 75,620.36 $.

3. להקפיא - עדיין לא סיימת. השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.

120,000 = א(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (תמצית)

120,000 = 75,620.35523 (1.586874323) (אקספקטנט)

120,000 = 120,000 (כפל)

להלן דוגמאות לפיתרון עבור הסכום המקורי, בהתחשב בפונקציה האקספוננציאלית:

1. 84 = א(1+.31)⁷
   השתמש בסדר פעולות כדי לפשט.
   84 = א(1.31)⁷ (תמצית)
   84 = א(6.620626219) (אקספקטנט)
   מחלקים לפתור.
   84/6.620626219 = א(6.620626219)/6.620626219
   12.68762157 = 1א
   12.68762157 = א
   השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.
   84 = 12.68762157(1.31)⁷ (תמצית)
   84 = 12.68762157 (6.620626219) (אקספקטנט)
   84 = 84 (כפל)
2. א(1 -.65)³ = 56
   השתמש בסדר פעולות כדי לפשט.
   א(.35)³ = 56 (Parenthesis)
   א(.042875) = 56 (אקספקטנט)
   מחלקים לפתור.
   א(.042875)/.042875 = 56/.042875
   א = 1,306.122449
   השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.
   א(1 -.65)³ = 56
   1,306.122449(.35)³ = 56 (Parenthesis)
   1,306.122449 (.042875) = 56 (אקספקטנט)
   56 = 56 (להכפיל)
3. א(1 + .10)⁵ = 100,000
   השתמש בסדר פעולות כדי לפשט.
   א(1.10)⁵ = 100,000 (Parenthesis)
   א(1.61051) = 100,000 (אקספקטנט)
   מחלקים לפתור.
   א(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
   א = 62,092.13231
   השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.
   62,092.13231(1 + .10)⁵ = 100,000
   62,092.13231(1.10)⁵ = 100,000 (Parenthesis)
   62,092.13231 (1.61051) = 100,000 (אקספקטנט)
   100,000 = 100,000 (להכפיל)
4. 8,200 = א(1.20)¹⁵
   השתמש בסדר פעולות כדי לפשט.
   8,200 = א(1.20)¹⁵ (אקספקטנט)
   8,200 = א(15.40702157)
   מחלקים לפתור.
   8,200/15.40702157 = א(15.40702157)/15.40702157
   532.2248665 = 1א
   532.2248665 = א
   השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.
   8,200 = 532.2248665(1.20)¹⁵
   8,200 = 532.2248665 (15.40702157) (אקספקטנט)
   8,200 = 8200 (ובכן, 8,199.9999... רק קצת שגיאת עיגול.) (הכפל).
5. א(1 -.33)² = 1,000
   השתמש בסדר פעולות כדי לפשט.
   א(.67)² = 1,000 (Parenthesis)
   א(.4489) = 1,000 (אקספקטנט)
   מחלקים לפתור.
   א(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
   1א = 2,227.667632
   א = 2,227.667632
   השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.
   2,227.667632(1 -.33)² = 1,000
   2,227.667632(.67)² = 1,000 (Parenthesis)
   2,227.667632 (.4489) = 1,000 (אקספקטנט)
   1,000 = 1,000 (להכפיל)
6. א(.25)⁴ = 750
   השתמש בסדר פעולות כדי לפשט.
   א(.00390625) = 750 (אקספקטנט)
   מחלקים לפתור.
   א(.00390625)/00390625= 750/.00390625
   1a = 192,000
   a = 192,000
   השתמש בסדר הפעולות כדי לבדוק את תשובתך.
   192,000(.25)⁴ = 750
   192,000(.00390625) = 750
   750 = 750