אחד הקבועים הנפוצים ביותר ברחבי המתמטיקה הוא המספר pi שמצוין באות היוונית π. מושג ה- pi מקורו בגאומטריה, אך למספר זה יש יישומים לאורך המתמטיקה ומופיע במקצועות רחוקים הכוללים סטטיסטיקות והסתברות. פי אפילו זכה להכרה תרבותית ולחג משלו, עם חגיגת פעילויות יום פי מסביב לעולם.
הערך של פי
Pi מוגדר כיחס בין היקף מעגל לקוטרו. הערך של pi גדול מעט משלוש, מה שאומר שלכל עיגול ביקום יש היקף באורך שהוא קצת יותר משלוש קוטרו. ליתר דיוק, ל- pi יש ייצוג עשרוני שמתחיל 3.14159265... זהו רק חלק מההרחבה העשרונית של pi.
עובדות פי
Pi כולל הרבה תכונות מרתקות ויוצאות דופן, כולל:
- פי הוא לא הגיוני מספר ממשי. המשמעות היא שלא ניתן לבטא את ה- pi כשבריר a / b איפה א ו ב שניהם מספרים שלמים. למרות שהמספרים 22/7 ו- 355/113 מועילים בהערכת pi, אף אחד מהשברים הללו אינו הערך האמיתי של pi.
- מכיוון ש- pi הוא מספר לא רציונאלי, ההתפשטות העשרונית שלו לעולם אינה מסתיימת או חוזרת. יש כמה שאלות הנוגעות להרחבה עשרונית זו, כמו: האם כל מחרוזת ספרות אפשרית מופיעה איפשהו בהתרחבות העשרונית של pi? אם כל מחרוזת אפשרית מופיעה, מספר הטלפון הסלולרי שלך נמצא איפשהו בהתרחבות ה- pi (אך כך גם כולם).
- Pi הוא מספר טרנסצנדנטלי. משמעות הדבר היא ש- pi אינו האפס של פולינום עם מקדמים שלמים. עובדה זו חשובה כאשר בוחנים תכונות מתקדמות יותר של pi.
- Pi הוא חשוב מבחינה גיאומטרית, ולא רק בגלל שהוא מתייחס להיקף המעגל וקוטרו. מספר זה מופיע גם בנוסחה לאזור המעגל. שטח מעגל הרדיוס r הוא א = pi r2. המספר pi משמש בפורמולות גיאומטריות אחרות, כמו שטח הפנים ונפח הכדור, נפח חרוט ונפח צילינדר עם בסיס עגול.
- Pi מופיע כאשר הכי פחות צפוי. לאחת מדוגמאות רבות לכך, שקול הסכום האינסופי 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... סכום זה מתכנס לערך pi2/6.
Pi בסטטיסטיקה והסתברות
Pi עושה הופעות מפתיעות לאורך המתמטיקה, וחלק מהמופעים הללו הם במקצועות ההסתברות והסטטיסטיקה. הנוסחה של תפוצה רגילה רגילה, המכונה גם עקומת הפעמון, מציג את המספר pi כקבוע של נורמליזציה. במילים אחרות, חלוקה על ידי ביטוי שמעורב pi מאפשרת לך לומר שהשטח מתחת לעיקול שווה לאחד. Pi הוא חלק מהנוסחאות עבור אחרים התפלגויות הסתברות גם כן.
התרחשות מפתיעה נוספת של pi בהסתברות היא ניסוי לזריקת מחט בן מאות שנים. במאה ה -18 ז'ורז 'לואי לקלרק, קופט דה בופון הציב שאלה הנוגעת להסתברות להפלת מחטים: התחל ברצפה עם קרשים מעץ ברוחב אחיד בה הקווים בין כל הקרשים מקבילים זה לזה. קח מחט באורך קצר מהמרחק בין הקרשים. אם תפיל מחט על הרצפה, מה ההסתברות שהיא תנחת על קו בין שניים מקרשי העץ?
כפי שמתברר, ההסתברות שהמחט נוחתת על קו בין שתי קרשים היא כפליים מאורך המחט חלקי האורך בין הקרשים פעמים pi.