מה הצומת של שני סטים?

כשמתעסקים תורת הקבוצות, יש מספר פעולות לייצור סטים חדשים מתוך ישנים. אחת הפעולות הנפוצות ביותר הנקראת נקראת הצומת. בפשטות נאמר, הצומת של שתי מערכות א ו ב היא הקבוצה של כל האלמנטים ששניהם א ו ב יש מכנה משותף.

אנו נבחן פרטים הנוגעים לצומת בתורת הקבוצות. כפי שנראה, מילת המפתח כאן היא המילה "ו-".

כדוגמה לאופן שבו צומת שתי קבוצות מהווה א סט חדש, בואו נשקול את הסטים א = {1, 2, 3, 4, 5} ו- ב = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. כדי למצוא את הצומת של שתי מערכות אלה, עלינו לברר אילו אלמנטים הם משותפים. המספרים 3, 4, 5 הם אלמנטים של שתי הקבוצות, ולכן הצמתים של א ו ב הוא {3. 4. 5].

בנוסף להבנת המושגים הנוגעים לפעולות תיאוריה מוגדרות, חשוב להיות מסוגלים לקרוא סמלים המשמשים לציון פעולות אלה. הסמל לצומת מוחלף לעיתים במילה "ו-" בין שתי קבוצות. מילה זו מציעה את התיאור הקומפקטי יותר עבור צומת המשמש בדרך כלל.

הסמל המשמש לצומת שתי הקבוצות א ו ב ניתן ע"י א ∩ ב. אחת הדרכים לזכור שסמל זה ∩ מתייחס לצומת היא לשים לב לדמיונו לבירה A, שקצרה המילה "ו-".

כדי לראות סימון זה בפעולה, עיין בדוגמה לעיל. כאן היו לנו הסטים

זהות בסיסית אחת הכרוכה בצומת מראה לנו מה קורה כאשר אנו לוקחים את הצומת של כל קבוצה עם הסט הריק, המסומן על ידי # 8709. הסט הריק הוא הסט ללא אלמנטים. אם אין אלמנטים לפחות באחד מהסטים שאנו מנסים למצוא את הצומת של, אז לשתי הקבוצות אין אלמנטים משותפים. במילים אחרות, הצומת של כל קבוצה עם הסט הריק ייתן לנו את הסט הריק.

זהות זו הופכת לקומפקטית עוד יותר עם השימוש בסימן שלנו. יש לנו זהות: א ∩ ∅ = ∅.

לגבי הקיצון האחר, מה קורה כאשר אנו בוחנים את הצומת של סט עם הסט האוניברסלי? דומה לאופן שבו המילה יקום משמש באסטרונומיה בכוונת הכל, הסט האוניברסלי מכיל כל אלמנט. מכאן נובע כי כל אלמנט בסט שלנו הוא גם אלמנט של הסט האוניברסלי. כך שהצומת של כל קבוצה עם הסט האוניברסלי הוא הסט שאיתו התחלנו.

שוב הסבר שלנו מציל את ביטוי זהות זו בתמציתיות רבה יותר. לכל סט א והסט האוניברסלי U, א ∩ U = א.

ישנן משוואות מוגדרות רבות יותר הכרוכות בשימוש בפעולת הצומת. כמובן, זה תמיד טוב תרגול באמצעות שפת תורת הקבוצות. לכל הסטים א, ו ב ו ד יש לנו:

• נכס רפלקסיבי: א ∩ א =א
• רכוש קומולטטיבי: א ∩ ב = ב ∩ א
• רכוש אסוציאטיבי: (א ∩ ב) ∩ ד =א ∩ (ב ∩ ד)
• רכוש חלוקתי: (א ∪ ב) ∩ ד = (א ∩ ד)∪ (ב ∩ ד)
• חוק DeMorgan I: (א ∩ ב)^ג = א^ג ∪ ב^ג
• חוק DeMorgan II: (א ∪ ב)^ג = א^ג ∩ ב^ג