כיצד להשתמש בכללים המשלים בסטטיסטיקה

בסטטיסטיקה, כלל ההשלמה הוא משפט המספק קשר בין ההסתברות ל- אירוע וההסתברות להשלמת האירוע בצורה כזו שאם אנו מכירים את אחת ההסתברויות הללו, אנו מכירים אוטומטית את האחר.

כלל ההשלמה מועיל כשאנחנו מחשבים הסתברויות מסוימות. פעמים רבות ההסתברות לאירוע מבולגנת או מסובכת לחישוב, ואילו ההסתברות להשלמה שלה הרבה יותר פשוטה.

לפני שנראה כיצד משתמשים כלל ההשלמה, נגדיר באופן ספציפי מהו כלל זה. אנו מתחילים במעט סימון. השלמת האירוע א, המורכב מכל האלמנטים ב- שטח מדגםס שאינם רכיבים מהתפאורה א, מצוין על ידי אג.

כלל ההשלמה מצוין כ"סיכום ההסתברות לאירוע וההסתברות להשלמה שלו שווה ל 1 ", כפי שבא לידי ביטוי במשוואה הבאה:

P (א^ג) = 1 - P (א)

הדוגמה הבאה תראה כיצד להשתמש בכלל ההשלמה. יתברר כי משפט זה יאיץ ופשט גם את חישובי ההסתברות.

נניח שאנחנו מחליפים שמונה מטבעות הוגנים - מהי ההסתברות שיש לנו לפחות בראש אחד? אחת הדרכים להבין זאת היא לחשב את ההסתברויות שלהלן. המכנה של כל אחד מהם מוסבר על ידי העובדה שישנם 2⁸ = 256 תוצאות, כל אחת מהן סבירה באותה מידה. לכל אלה הבאים נוסחה ל שילובים:

• ההסתברות להעיף ראש אחד בדיוק היא C (8,1) / 256 = 8/256.
• ההסתברות להעיף שני ראשים בדיוק היא C (8,2) / 256 = 28/256.
• ההסתברות להעיף 3 ראשים בדיוק היא C (8,3) / 256 = 56/256.
• ההסתברות להעיף ארבעה ראשים בדיוק היא C (8,4) / 256 = 70/256.
• ההסתברות להעיף חמישה ראשים בדיוק היא C (8,5) / 256 = 56/256.
• ההסתברות להניף שישה ראשים בדיוק היא C (8,6) / 256 = 28/256.
• ההסתברות להחליפה של שבעה ראשים בדיוק היא C (8,7) / 256 = 8/256.
• ההסתברות לדפדף שמונה ראשים בדיוק היא C (8,8) / 256 = 1/256.

אלו הם בלעדיות הדדית כך אנו מסכמים את ההסתברויות יחד בעזרת אחד המתאים כלל תוספת. המשמעות היא שההסתברות שיש לנו לפחות ראש אחד היא 255 מתוך 256.

אנו מחשבים את אותה ההסתברות באמצעות כלל ההשלמה. השלמת האירוע "אנחנו מפליגים לפחות בראש אחד" הוא האירוע "אין ראשים". יש דרך אחת להתרחש בכך שהיא נותנת לנו את ההסתברות ל- 1/256. אנו משתמשים בכללים המשלימים ומגלים שההסתברות הרצויה שלנו היא מינוס אחד מתוך 256, השווה ל- 255 מתוך 256.

דוגמה זו ממחישה לא רק את התועלת אלא גם את כוחו של כלל המשלים. אף כי אין שום דבר פסול בחישוב המקורי שלנו, הוא היה די מעורב ונדרש מספר רב של שלבים. לעומת זאת, כאשר השתמשנו כלל ההשלמה לבעיה זו לא היו צעדים רבים ככל שהחישובים עלולים להשתבש.