השתמש בהסתברות מותנית כדי לחשב צמתים

ה הסתברות מותנית של אירוע הוא ההסתברות ש- אירועא מתרחש בהתחשב בכך שאירוע אחר ב כבר התרחש. סוג זה של הסתברות מחושב על ידי הגבלת ה- שטח מדגם שאנחנו עובדים איתה רק לסט ב.

ניתן לכתוב מחדש את הנוסחה להסתברות מותנית באמצעות אלגברה בסיסית כלשהי. במקום הנוסחה:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),

אנו מכפילים את שני הצדדים ב P (B) ולקבל את הנוסחה המקבילה:

P (A | B) איקס P (B) = P (A ∩ B).

לאחר מכן נוכל להשתמש בנוסחה זו כדי למצוא את ההסתברות ששני אירועים מתרחשים באמצעות ההסתברות המותנית.

גרסה זו של הנוסחה היא שימושית ביותר כאשר אנו יודעים את ההסתברות המותנית א ניתן ב כמו גם את ההסתברות לאירוע ב. אם זה המקרה, נוכל לחשב את ההסתברות של צומת של א ניתן ב פשוט על ידי הכפלת שתי הסתברויות אחרות. ההסתברות להצטלבות של שני אירועים היא מספר חשוב מכיוון שזו ההסתברות ששני האירועים מתרחשים.

לדוגמא הראשונה שלנו, נניח שאנחנו יודעים את הערכים הבאים להסתברויות: P (A | B) = 0.8 ו P (B) = 0.5. ההסתברות P (A ∩ B) = 0.8 x 0.5 = 0.4.

בעוד שהדוגמה לעיל מראה כיצד הפורמולה עובדת, יתכן שהיא לא הכי מאירה עד כמה מועילה הנוסחה לעיל. אז נשקול דוגמא נוספת. יש בית ספר תיכון עם 400 תלמידים, מתוכם 120 גברים ו -280 נשים. מבין הגברים 60% נרשמים כיום לקורס מתמטיקה. מבין הנקבות 80% נרשמות כיום לקורס מתמטיקה. מה ההסתברות שתלמידה שנבחרה באופן אקראי היא אישה שנרשמת לקורס מתמטיקה?

הנה נתנו ו מציין את האירוע "סטודנט נבחר הוא נקבה" ו M האירוע "תלמיד נבחר נרשם לקורס מתמטיקה." עלינו לקבוע את ההסתברות לצומת של שני אירועים אלה, או P (M ∩ F).

הנוסחה שלעיל מראה לנו את זה P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). ההסתברות שנבחרה נקבה היא P (F) = 280/400 = 70%. ההסתברות המותנית כי התלמיד שנבחר נרשם לקורס מתמטיקה, בהינתן שנבחרה נקבה P (M | F) = 80%. אנו מכפילים את ההסתברויות הללו יחד ורואים שיש לנו 80% x 70% = 56% אפשרות לבחור סטודנטית שנרשמת לקורס מתמטיקה.

הנוסחה לעיל המתייחסת להסתברות מותנית והסתברות לצומת נותנת לנו דרך קלה לדעת אם עסקינן בשני אירועים עצמאיים. מאז אירועים א ו ב הם עצמאיים אם P (A | B) = P (A), נובע מהנוסחה לעיל שמתרחשת אירועים א ו ב הם עצמאיים אם ורק אם:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

אז אם אנו יודעים זאת P (A) = 0.5, P (B) = 0.6 ו P (A ∩ B) = 0.2, מבלי לדעת שום דבר אחר אנו יכולים לקבוע כי אירועים אלה אינם עצמאיים. אנו יודעים זאת מכיוון P (A) x P (B) = 0.5 x 0.6 = 0.3. זו לא ההסתברות לצומת של א ו ב.