אנו לומדים בשלב מוקדם למדי בקריירת המתמטיקה שלנו כי מפעל, מוגדר למספרים שלמים לא שליליים n, היא דרך לתאר את הכפל החוזר. זה מצוין על ידי שימוש בסימן קריאה. לדוגמה:
החריג היחיד להגדרה זו הוא אפס פקטוריאלי, שם 0! = 1. כשאנחנו מסתכלים על הערכים הללו עבור המפעל, נוכל להזדווג n עם n!. זה ייתן לנו את הנקודות (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), וכך ב.
ההגדרה של פונקציית הגמא מורכבת מאוד. זה כרוך בנוסחה מורכבת למראה שנראית מוזרה מאוד. פונקציית הגמא משתמשת בחשבון כלשהו בהגדרתה, כמו גם בפונקציה מספר ה שלא כמו פונקציות מוכרות יותר כמו פולינומים או פונקציות טריגונומטריות, פונקציית הגמא מוגדרת כאינטגרל הלא תקין של פונקציה אחרת.
ניתן להשתמש בהגדרת פונקציית הגמא להפגנת מספר זהויות. אחד החשובים שבהם הוא ש- Γ ( ז + 1 ) = ז Γ( ז ). אנו יכולים להשתמש בזה, ובעובדה ש- Γ (1) = 1 מהחישוב הישיר:
אך איננו צריכים להזין רק מספרים שלמים לפונקציית הגמא. כל מספר מורכב שאינו מספר שלילי הוא בתחום הפונקציה של הגמא. משמעות הדבר היא שנוכל להרחיב את בית המפעל למספרים שאינם מספרים לא שלמים. מבין הערכים הללו, אחת התוצאות הידועות (והמפתיעות ביותר) היא ש- 1/2 (1/2) = √π.
תוצאה נוספת הדומה לזו האחרונה היא ש- 1/2 (1/2) = -2π. אכן, פונקציית הגמא תמיד מפיקה פלט של מכפיל מהשורש הריבועי של pi כאשר מכפילים מוזרים של 1/2 מוזנים לפונקציה.
פונקציית הגמא מופיעה בתחומים רבים של מתמטיקה, כנראה שאינם קשורים. בפרט, ההכללה של בית החרושת המסופק על ידי פונקציית הגמא מועילה בכמה בעיות קומבינטוריות והסתברות. כמה התפלגויות הסתברות מוגדרים ישירות מבחינת פונקציית הגמא. לדוגמה, התפלגות הגמא נאמרת במונחים של פונקציית הגמא. ניתן להשתמש בהפצה זו למודל של מרווח הזמן בין רעידות אדמה. חלוקת התלמידים, שניתן להשתמש בהם לנתונים שבהם יש לנו סטיית תקן לא ידועה של אוכלוסייה, והתפלגות הצ'י-ריבוע מוגדרת גם מבחינת פונקציית הגמא.