הסתברות של סטרייט קטן ביאצ'י בסיבוב אחד

Yahtzee הוא משחק קוביות המשתמש בחמישה קוביות סטנדרטיות בעלות שישה צדדים. בכל סיבוב ניתנים לשחקנים שלוש גלילים להשיג מספר יעדים שונים. לאחר כל רול, שחקן רשאי להחליט אילו מהקוביות (אם יש כאלה) שיישמרו ואילו יש להחליף מחדש. היעדים כוללים מגוון סוגים שונים של שילובים, שרבים מהם נלקחים מהפוקר. כל שילוב מסוג אחר שווה כמות שונה של נקודות.

שניים מסוגי השילובים שעל שחקנים לגלגל נקראים סטרייטים: ישר קטן וישר גדול. כמו ישר פוקר, שילובים אלה מורכבים מקוביות רצופות. ישירות קטנות מעסיקות ארבע מחמשת הקוביות ו ישרים גדולים השתמש בכל חמשת הקוביות. בגלל האקראיות של גלגול הקוביות ניתן להשתמש בהסתברות לניתוח עד כמה סביר לגלגל ישר קטן בתוך גליל בודד.

אנו מניחים שהקוביות בהן נעשה שימוש הוגנות ובלתי תלויות זו בזו. כך יש חלל מדגם אחיד המורכב מכל הגלילים האפשריים של חמשת הקוביות. למרות ש יהצי מאפשר שלוש לחמניות, לשם הפשטות נשקול רק את המקרה שאנו משיגים ישר ישר בתוך גליל בודד.

מכיוון שאנו עובדים עם א מדיםשטח מדגם, חישוב ההסתברות שלנו הופך לחישוב של כמה בעיות ספירה. ההסתברות של סטרייט קטן היא מספר הדרכים לגלגל ישר קטן, מחולק במספר התוצאות במרחב המדגם.

קל מאוד לספור את מספר התוצאות במרחב המדגם. אנו מגלגלים חמש קוביות וכל אחת מהקוביות יכולה להיות אחת משש תוצאות שונות. יישום בסיסי של עקרון הכפל אומר לנו כי לחלל המדגם יש 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 תוצאות. מספר זה יהיה המכנה של השברים בהם אנו משתמשים לצורך ההסתברות שלנו.

בשלב הבא עלינו לדעת כמה דרכים יש לגלגל ישר קטן. זה קשה יותר מחישוב גודל שטח המדגם. אנו מתחילים לספור כמה סטרייטים אפשריים.

קל יותר לגלגל סטרייט קטן מאשר ישר גדול, עם זאת, קשה יותר לספור את מספר הדרכים לגלגל ישר מסוג זה. ישר קטן מורכב מארבעה מספרים רצופים בדיוק. מכיוון שיש שישה פרצופים שונים של המיטה, ישנם שלוש זירות קטנות אפשריות: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} ו- {3, 4, 5, 6}. הקושי מתעורר בשקול מה קורה עם המוות החמישי. בכל אחד מהמקרים האלה המאה החמישית חייבת להיות מספר שלא יוצר סטרייט גדול. לדוגמה, אם ארבע הקוביות הראשונות היו 1, 2, 3 ו- 4, המוות החמישי יכול להיות כל דבר אחר מאשר 5. אם המוות החמישי היה 5, יהיה לנו ישר ישר ולא ישר.

המשמעות היא שיש חמש גלילים אפשריים שנותנים את היישר הקטן {1, 2, 3, 4}, חמש אפשריים לחמניות שנותנות לסטרייטים הקטנים {3, 4, 5, 6} וארבע לחמניות אפשריות שנותנות לסטרייטים הקטנים {2, 3, 4, 5}. המקרה האחרון זה שונה מכיוון שגלגל 1 או 6 למות החמישית ישנה את {2, 3, 4, 5} לישר גדול. משמעות הדבר היא שיש 14 דרכים שונות שחמש קוביות יכולות לתת לנו סטרייט קטן.

כעת אנו קובעים את מספר הדרכים השונות לגלגל קבוצה מסוימת של קוביות שנותנות לנו ישר. מכיוון שאנו רק צריכים לדעת כמה דרכים יש לעשות זאת, אנו יכולים להשתמש בכמה טכניקות ספירה בסיסיות.

מבין 14 הדרכים המובחנות להשיג סטרייטים קטנים, רק שניים אלה {1,2,3,4,6} ו- {1,3,4,5,6} הם קבוצות עם אלמנטים מובחנים. יש 5! = 120 דרכים לגלגל כל אחת בסך הכל של 2 על 5! = 240 סטרייטים קטנים.

12 הדרכים האחרות לקבל סטרייט קטן הן טכניות רב-ערכיות שכן כולן כוללות אלמנט חוזר. עבור מערך אחד מסוים, כגון [1,1,2,3,4], נספור את המספר בין דרכים שונות לגלגל זאת. חשבו על הקוביות כחמש עמדות ברצף:

• ישנן C (5,2) = 10 דרכים למקם את שני האלמנטים החוזרים על עצמם בין חמשת הקוביות.
• יש 3! = 6 דרכים לסדר את שלושת האלמנטים הייחודיים.

לפי עקרון הכפל, יש 6 x 10 = 60 דרכים שונות לגלגל את הקוביות 1,1,2,3,4 בתוך גליל בודד.

יש 60 דרכים לגלגל ישר כזה קטן עם המוות החמישי המסוים הזה. מכיוון שיש 12 רב-קבוצות המציגות רשימה שונה של חמישה קוביות, יש 60 x 12 = 720 דרכים לגלגל ישר קטן בו שתי קוביות מתאימות.

בסך הכל ישנם 2 על 5! + 12 על 60 = 960 דרכים לגלגל ישר קטן.

כעת ההסתברות לגלגל סטרייט קטנה היא חישוב חלוקה פשוט. מכיוון שיש 960 דרכים שונות לגלגל ישר קטן בתוך גליל בודד ויש 7776 גלילים של חמישה קוביות אפשריות, ההסתברות לגלגל ישר קטן היא 960/7776, הקרובה ל 1/8 ו 12.3%.

כמובן שסביר להניח שהגליל הראשון אינו סטרייט. אם זה המקרה, מותר לנו שתי לחמניות נוספות מה שהופך ישר קטן הרבה יותר סביר. ההסתברות לכך מורכבת הרבה יותר לקביעה בגלל כל המצבים האפשריים שצריך לקחת בחשבון.