הסתברות לבחירת אקראי מספר ראשוני

תורת המספרים היא ענף של מתמטיקה שמעסיק את עצמו עם מערכת המספרים השלמים. אנו מגבילים את עצמנו במקצת על ידי כך, מכיוון שאיננו לומדים ישירות מספרים אחרים, כגון אי-הגיון. עם זאת, סוגים אחרים של מספרים אמיתיים משומשים. בנוסף לכל זה, לנושא ההסתברות יש קשרים וצמתים רבים עם תורת המספרים. אחד מהקשרים הללו קשור להפצה של מספרים ראשוניים. ליתר דיוק נשאל, מהי ההסתברות שמספר שלם שנבחר באופן אקראי בין 1 ל איקס האם מספר ראשוני?

כמו בכל בעיה במתמטיקה, חשוב להבין לא רק מהן ההנחות שמתקבלות, אלא גם את ההגדרות של כל מונחי המפתח בבעיה. בבעיה זו אנו שוקלים את המספרים השלמים החיוביים, כלומר המספרים השלמים 1, 2, 3... עד מספר איקס. אנו בוחרים באקראי אחד מהמספרים הללו, כלומר הכל איקס סביר להניח שנבחר מהם.

אנו מנסים לקבוע את ההסתברות שנבחר מספר ראשוני. לפיכך עלינו להבין את ההגדרה של מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר חיובי שיש בו שני גורמים בדיוק. המשמעות היא שהמחלקים היחידים למספרים ראשוניים הם אחד והמספר עצמו. אז 2,3 ו -5 הם פריימים, אבל 4, 8 ו 12 הם לא ראשוניים. נציין כי מכיוון שחייבים להיות שני גורמים במספר ראשוני, המספר 1 הוא לא פריים.

הפיתרון לבעיה זו הוא פשוט עבור מספרים נמוכים איקס. כל מה שאנחנו צריכים לעשות הוא פשוט לספור את מספר הראשונים שהם פחות או שווים להם איקס. אנו מחלקים את מספר הראשונים פחות או שווה לזה איקס לפי המספר איקס.

לדוגמא, כדי למצוא את ההסתברות שבחרת ראשוני בין 1 ל -10 מחייב אותנו לחלק את מספר הפרימיים מ- 1 ל- 10 על 10. המספרים 2, 3, 5, 7 הם ראשוניים, כך שההסתברות שנבחר פריים היא 4/10 = 40%.

ההסתברות שבחרת ראשוני בין 1 ל 50 יכולה להימצא באופן דומה. ראשוני ההתחלה שהם פחות מ -50 הם: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ו- 47. ישנם 15 פריימים פחות או שווים ל 50. לפיכך, ההסתברות שבוחרים פריים באופן אקראי היא 15/50 = 30%.

ניתן לבצע את התהליך על ידי ספירת ראשונים כל עוד יש לנו רשימת ראשונים. לדוגמה, יש 25 פריימים פחות 100 או שווה ל 100. (לפיכך ההסתברות שמספר שנבחר באופן אקראי בין 1 ל- 100 הוא ראשוני היא 25/100 = 25%.) עם זאת, אם אין לנו רשימה של ראשוניים, זה יכול להיות מפחיד לחשב את קבוצת המספרים הראשוניים שהם פחות או שווים לנתון מסוים מספר איקס.

אם אין לך ספירה של מספר הראשונים שהם פחות או שווים ל- איקס, יש דרך חלופית לפתור את הבעיה. הפיתרון כולל תוצאה מתמטית המכונה משפט המספר הראשוני. זוהי הצהרה על התפלגות הכוללת של פרימוסים וניתן להשתמש בה כדי לערער את ההסתברות שאנו מנסים לקבוע.

משפט המספרים הראשוני קובע כי ישנם כ איקס / ln (איקס) מספרים ראשוניים שהם פחות או שווים ל- איקס. הנה אני (איקס) מציין את הלוגריתם הטבעי של איקסאו במילים אחרות הלוגריתם עם בסיס של המספר ה. כערך של איקס מגדיל את הקירוב משתפר, במובן זה שאנחנו רואים ירידה בשגיאה היחסית בין מספר הפרימוסים פחות מ- איקס והביטוי איקס / ln (איקס).

אנו יכולים להשתמש בתוצאה של משפט המספרים הראשוני כדי לפתור את הבעיה שאנו מנסים לטפל בה. אנו יודעים לפי משפט המספר הראשוני שישנם בערך איקס / ln (איקס) מספרים ראשוניים שהם פחות או שווים ל- איקס. יתר על כן, יש סך של איקס מספרים שלמים חיוביים פחות או שווים ל איקס. לכן ההסתברות שמספר שנבחר באופן אקראי בטווח זה הוא ראשוני היא (איקס / ln (איקס) ) /איקס = 1 / ln (איקס).

כעת נוכל להשתמש בתוצאה זו בכדי לקרב את ההסתברות לבחירה אקראית של מספר ראשוני מהראשון מיליארד מספרים שלמים. אנו מחשבים את הלוגריתם הטבעי של מיליארד ורואים ש- ln (1,000,000,000) הוא בערך 20.7 ו- 1 / ln (1,000,000,000) הוא בערך 0.0483. לפיכך יש לנו סבירות של 4.83% לבחור באופן אקראי מספר ראשוני מתוך מיליארד המספרים הראשונים.