המאפיינים האסוציאטיביים והקומוטטיביים

ישנן מספר תכונות מתמטיות בהן משתמשים נתונים סטטיסטיים ו הסתברות; שניים מאלו, התכונות הקומוטטיביות והאסוציאטיביות, קשורים בדרך כלל לאריתמטיקה הבסיסית של מספרים שלמים, רציונלים, ו מספרים אמיתייםאם כי הם מופיעים גם במתמטיקה מתקדמת יותר.

מאפיינים אלה - הקומוטטיבי והאסוציאטיבי - דומים מאוד וניתן לערבב אותם בקלות. מסיבה זו, חשוב להבין את ההבדל בין השניים.

המאפיין הקומיטטיבי נוגע לסדר פעולות מתמטיות מסוימות. לניתוח בינארי - כזה הכרוך בשני אלמנטים בלבד - ניתן להראות זאת על ידי המשוואה a + b = b + a. הפעולה הינה קומיטטיבית מכיוון שסדר האלמנטים אינו משפיע על תוצאת הפעולה. המאפיין האסוציאטיבי, לעומת זאת, נוגע לקבוצת גורמים במבצע. ניתן להראות זאת על ידי המשוואה (a + b) + c = a + (b + c). קיבוץ האלמנטים, כפי שמצוין בסוגריים, אינו משפיע על תוצאת המשוואה. שימו לב שכאשר משתמשים במאפיין הקומוטטיבי, אלמנטים במשוואה הם סידור מחדש. כאשר משתמשים במאפיין האסוציאטיבי, אלמנטים הם פשוט בקבוצה מחדש.

במילים פשוטות, המאפיין הקומוטטיבי קובע כי ניתן לארגן מחדש את הגורמים במשוואה מבלי להשפיע על תוצאת המשוואה. הנכס הקומיטטיבי, אפוא, עוסק בעצמו בהזמנת פעולות, כולל תוספת וכפל של מספרים אמיתיים, מספרים שלמים ומספרים רציונליים.

לדוגמה, ניתן להוסיף את המספרים 2, 3 ו- 5 יחד בכל סדר מבלי שישפיע על התוצאה הסופית:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

כמו כן ניתן להכפיל את המספרים בכל סדר מבלי שישפיע על התוצאה הסופית:

2X3X5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5X3X2 = 30

חיסור וחלוקה, לעומת זאת, אינם פעולות שיכולות להיות קומוטטיביות מכיוון שסדר הפעולות הוא חשוב. שלושת המספרים לעיל לא יכוללמשל, יופקעו בכל סדר בלי להשפיע על הערך הסופי:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

כתוצאה מכך, ניתן לבטא את המאפיין הקומוטטיבי דרך המשוואות a + b = b + a ו- x b = b x a. לא משנה סדר הערכים במשוואות אלה, התוצאות תמיד יהיו זהות.

המאפיין האסוציאטיבי קובע כי ניתן לשנות את קיבוץ הגורמים בפעולה מבלי להשפיע על תוצאת המשוואה. ניתן לבטא זאת באמצעות המשוואה a + (b + c) = (a + b) + c. לא משנה לאיזה זוג ערכים במשוואה יתווסף תחילה, התוצאה תהיה זהה.

לדוגמה, קחו את המשוואה 2 + 3 + 5. לא משנה כיצד הערכים מקובצים, התוצאה של המשוואה תהיה 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

בדומה לתכונה הקומוטטיבית, דוגמאות לפעולות הקשורות ביחידות כוללות תוספת וכפל של מספרים אמיתיים, מספרים שלמים ומספרים רציונליים. עם זאת, בשונה מהמאפיין הקומוטטיבי, המאפיין האסוציאטיבי יכול לחול גם על כפל מטריקס והרכב פונקציות.

בדומה למשוואות רכוש קומוטטיבי, משוואות רכוש אסוציאטיבית אינן יכולות להכיל חיסור של מספרים אמיתיים. קח, למשל, את הבעיה האריתמטית (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; אם נשנה את קיבוץ הסוגריים, יש לנו 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, מה שמשנה את התוצאה הסופית של המשוואה.

אנו יכולים להבין את ההבדל בין הנכס האסוציאטיבי לרכוש על ידי שאלת השאלה, "האם אנו משנים את הסדר של או שאנו משנים את קיבוץ האלמנטים? " אם סדרים מחדש של האלמנטים, אז המאפיין הקומוטטיבי חל. אם מרכיבים מחדש רק את הרכיבים, הנכס האסוציאטיבי חל.

עם זאת, שים לב כי נוכחות של סוגריים בלבד אינה אומרת בהכרח כי הרכוש האסוציאטיבי חל. לדוגמה:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

משוואה זו היא דוגמא לתכונה הקומוטטיבית של הוספת מספרים אמיתיים. אולם אם נקדיש תשומת לב למשוואה, עם זאת, אנו רואים שרק סדר האלמנטים השתנה ולא הקיבוץ. כדי שהרכוש האסוציאטיבי יחול, עלינו לארגן מחדש גם את קיבוץ האלמנטים:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3