מבחן השערה דוגמא לחישוב הסתברות

חלק חשוב בסטטיסטיקות ההסבר הוא בדיקת השערה. כמו לימוד כל מה שקשור למתמטיקה, כדאי לעבוד על מספר דוגמאות. להלן בוחן דוגמא לבדיקת השערה ומחושב את ההסתברות ל שגיאות מסוג I וסוג II.

אנו נניח שהתנאים הפשוטים מחזיקים מעמד. ליתר דיוק נניח שיש לנו א מדגם אקראי פשוט מאוכלוסייה שהיא או מופץ בדרך כלל או שיש לו גודל מדגם מספיק גדול שנוכל ליישם אותו משפט גבול מרכזי. נניח גם שאנחנו מכירים את סטיית התקן של האוכלוסייה.

שקית צ'יפס תפוחי אדמה נארזים לפי משקל. בסך הכל נרכשים, שוקלים תשעה שקיות ומשקלם הממוצע של תשעה שקיות אלה הוא 10.5 אונקיות. נניח שסטיית התקן של אוכלוסיית כל שקיות השבבים האלו היא 0.6 גרם. המשקל המוצהר על כל החבילות הוא 11 גרם. הגדר רמת משמעות על 0.01.

האם המדגם תומך בהשערה שמשמעותה של אוכלוסייה אמיתית היא פחות מ -11 גרם?

יש לנו מבחן זנב נמוך יותר. זה נראה על ידי הצהרתנו השערות אפס ואלטרנטיביות:

• ח₀: μ=11.
• ח_א: μ < 11.

נתון הבדיקה מחושב על ידי הנוסחה

ז = (איקס-bar - μ₀)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.

כעת עלינו לקבוע עד כמה סביר שערך זה של ז נובע מהמקריות בלבד. באמצעות טבלה של

מה ההסתברות לשגיאה מסוג I?

שגיאה מסוג I מתרחשת כאשר אנו דוחים השערת אפס שהיא נכונה. ההסתברות לטעות כזו שווה לרמת המשמעות. במקרה זה, יש לנו רמת משמעות השווה ל- 0.01, ולכן זו ההסתברות לטעות מסוג I.

אם ממוצע האוכלוסייה הוא למעשה 10.75 גרם, מה ההסתברות לשגיאה מסוג II?

אנו מתחילים בניסוח מחדש של כלל ההחלטות שלנו במונחים של מדגם המדגם. עבור רמת משמעות של 0.01, אנו דוחים את השערת האפס מתי ז < -2.33. על ידי חיבור ערך זה לנוסחה לסטטיסטיקת הבדיקה, אנו דוחים את השערת האפס מתי

(איקס-bar - 11) / (0.6 / √ 9)

באופן שווה אנו דוחים את השערת האפס כאשר 11 - 2.33 (0.2)> איקססרגל, או מתי איקסהסרגל הוא פחות מ- 10.534. אנו לא מצליחים לדחות את ההשערה האפסית ל איקס-סר גדול מ- 10.534 או שווה לו. אם ממוצע האוכלוסייה האמיתי הוא 10.75, אז ההסתברות לכך איקס-bar הוא גדול או שווה ל- 10.534 שווה לסיכוי לכך ז גדול או שווה ל -0.22. הסתברות זו, שהיא ההסתברות לטעות מסוג II, שווה ל 0.587.