אם היית מבקש ממישהו לציין את הקבוע המתמטי האהוב עליו או שלה, סביר להניח שתקבל כמה מבטים חידוניים. לאחר זמן מה מישהו עשוי להתנדב כי הקבוע הטוב ביותר הוא pi. אבל זה לא הקבוע המתמטי היחיד החשוב. שניה קרובה, אם לא מתמודדת עם הכתר של הקבוע הקבוע בכל מקום, היא ה. מספר זה מופיע בחשבון, תיאוריית המספרים, ההסתברות נתונים סטטיסטיים. נבחן כמה מהתכונות של המספר המדהים הזה, ונראה אילו קשרים יש לסטטיסטיקה וההסתברות.
ערך של ה
כמו pi, ה זה לא הגיוני מספר ממשי. המשמעות היא שלא ניתן לכתוב אותו כשבריר, וההתרחבות העשרונית שלה נמשכת לנצח ללא חסימה חוזרת של מספרים שחוזרת שוב ושוב. המספר ה הוא גם טרנסצנדנטלי, מה שאומר שהוא אינו שורש של פולינום לא-נוירו עם מקדמים רציונליים. חמישים המקומות העשרוניים הראשונים של ניתנים על ידי ה = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
הגדרה של ה
המספר ה התגלה על ידי אנשים שהיו סקרנים לגבי ריבית מורכבת. בצורה זו של ריבית, המנהל מרוויח ריבית ואז הריבית שנוצרת מרוויחה ריבית על עצמה. נצפה שככל שהתדירות של תקופות הרכבה בשנה גדולה יותר, כך גדלה סכום הריבית שנוצר. לדוגמה, אנו יכולים להסתכל על ריבית המתחדשת:
- מדי שנה, או פעם בשנה
- חצי שנתית, או פעמיים בשנה
- חודשי, או 12 פעמים בשנה
- מדי יום, או 365 פעמים בשנה
הסכום הכולל של הריבית עולה בכל אחד מהמקרים הללו.
עלתה שאלה כמה אפשר אולי להרוויח בריבית. כדי לנסות להרוויח עוד יותר כסף נוכל, להלכה, להגדיל את מספר תקופות ההרכבה למספר גבוה ככל שרצינו. התוצאה הסופית של עלייה זו היא ששקולנו את הריבית מתווספת ברציפות.
בעוד שהריבית שנוצרת עולה, היא עושה זאת לאט מאוד. סכום הכסף הכולל בחשבון מתייצב בפועל, והערך אליו הוא מתייצב הוא ה. כדי לבטא זאת באמצעות נוסחה מתמטית אנו אומרים שהגבול כמו n עליות של (1 + 1 /n)n = ה.
שימושים של ה
המספר ה מופיע לאורך המתמטיקה. הנה כמה מהמקומות שבהם הוא מופיע:
- זהו בסיס הלוגריתם הטבעי. מאז שנפייר המציא לוגריתמים, ה מכונה לפעמים הקבוע של נאפייר.
- בחשבון, הפונקציה האקספוננציאלית האיקס יש לו את המאפיין הייחודי להיות נגזר משלו.
- ביטויים מעורבים האיקס ו ה-איקס משתלבים ליצירת הסינוס ההיפרבולי והפונסיוס ההיפרבולי.
- בזכות עבודתו של אוילר, אנו יודעים כי הקבועים הבסיסיים של המתמטיקה קשורים זה בזה על ידי הנוסחה הiΠ + 1 = 0, איפה אני הוא המספר הדמיוני שהוא השורש הריבועי של השלילי.
- המספר ה מופיע בנוסחאות שונות לאורך המתמטיקה, במיוחד התחום של תורת המספרים.
הערך ה בסטטיסטיקה
חשיבות המספר ה אינו מוגבל רק לכמה תחומים במתמטיקה. ישנם מספר שימושים במספר ה בסטטיסטיקה ובהסתברות. כמה מאלה הם כדלקמן:
- המספר ה עושה הופעה באזור הנוסחה לפונקציית הגמא.
- הנוסחאות עבור תפוצה רגילה רגילה כרוך ה לכוח שלילי. נוסחה זו כוללת גם pi.
- הפצות רבות אחרות כרוכות בשימוש במספר ה. לדוגמה, הנוסחאות לפיזור t, חלוקת גמא וחלוקת צ'י ריבוע כוללות את המספר ה.