מהי הטיה של התפלגות אקספוננציאלית?

נפוץ פרמטרים ל חלוקת הסתברויות כלול את ממוצע סטיית התקן. הממוצע נותן מדידה של המרכז וסטיית התקן מספרת עד כמה התפוצה היא התפוצה. בנוסף לפרמטרים הידועים הללו, ישנם אחרים שמושכים תשומת לב לתכונות שאינן הממרח או המרכז. מדידה אחת כזו היא של שיפוט. הספקנות נותנת דרך לצרף ערך מספרי לא-סימטריה של התפלגות.

התפלגות חשובה אחת שנבחן היא ההתפלגות האקספוננציאלית. נראה כיצד להוכיח כי הערסות של התפלגות מעריכית היא 2.

נתחיל בהצגת פונקציית צפיפות ההסתברות לפיזור מעריכי. להפצות אלה לכל אחד מהם פרמטר הקשור לפרמטר מהקשור תהליך פואסון. אנו מציינים תפוצה זו כ- Exp (A), כאשר A הוא הפרמטר. פונקציית צפיפות ההסתברות לפיזור זה היא:

ו(איקס) = ה^{-איקס/ א}/ א, איפה איקס זה לא שלילי.

כאן ה הוא המתמטי קבוע ה זה בערך 2.718281828. הממוצע וסטיית התקן של התפלגות מעריכית Exp (A) קשורים שניהם לפרמטר A. למעשה, סטיית התקן הממוצע וסטנדרט שניהם שווה ל- A.

הספקנות מוגדרת על ידי ביטוי שקשור לרגע השלישי על הממוצע. ביטוי זה הוא הערך הצפוי:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

אנו מחליפים μ ו- σ ב- A והתוצאה היא שהשיפוע הוא E [X³] / א³ – 4.

כל שנותר הוא לחשב את השלישי רגע על המקור. לשם כך עלינו לשלב את הדברים הבאים:

∫^∞₀איקס³ו(איקס) דאיקס.

לאינטגרל הזה יש אינסוף לאחד מגבולותיו. כך ניתן להעריך אותו כאינטגרל בלתי תקין מסוג I. עלינו לקבוע באיזו טכניקת שילוב להשתמש. מכיוון שהפונקציה לשילוב היא תוצר של פונקציה פולינומית ואקספוננציאלית, נצטרך להשתמש בה שילוב על ידי חלקים. טכניקת שילוב זו מיושמת מספר פעמים. התוצאה הסופית היא ש:

E [X³] = 6 א³

לאחר מכן אנו משלבים זאת עם המשוואה הקודמת שלנו לביצוע השינויים. אנו רואים שהשינויים הם 6 - 4 = 2.

חשוב לציין כי התוצאה אינה תלויה בהתפלגות האקספוננציאלית הספציפית בה אנו מתחילים. השרירות של ההתפלגות המעריכית אינה מסתמכת על ערך הפרמטר A.

יתרה מזאת, אנו רואים כי התוצאה היא סקרנות חיובית. המשמעות היא שההפצה מוטה ימינה. זה לא אמור להפתיע כשאנחנו חושבים על צורת הגרף של פונקציית צפיפות ההסתברות. לכל התפלגויות כאלו יש יירוט y כמו 1 // תטא וזנב שהולך לימין הקיצוני של הגרף, התואם לערכים הגבוהים של המשתנה איקס.

כמובן שצריך גם להזכיר שיש דרך נוספת לחשב את השינויים. אנו יכולים להשתמש בפונקציית יצירת הרגע להפצה מעריכית. הנגזרת הראשונה של פונקצית יצירת רגעים הערכה ב 0 נותנת לנו E [X]. באופן דומה, הנגזרת השלישית של פונקצית יצירת הרגע כאשר היא מוערכת ב- 0 נותנת לנו E (X³].