מה הערך הצפוי בהסתברות?

אתה בקרנבל ואתה רואה משחק. תמורת 2 דולר אתה מגלגל למות סטנדרטית בעלת שישה צדדים. אם המספר שמופיע הוא שישה אתה זוכה ב 10 $, אחרת, אתה לא זוכה בכלום. אם אתה מנסה להרוויח כסף, האם האינטרס שלך לשחק את המשחק? כדי לענות על שאלה כזו אנו זקוקים למושג הערך הצפוי.

באמת ניתן לחשוב על הערך הצפוי כממוצע של משתנה אקראי. המשמעות היא שאם ביצעת שוב ושוב ניסוי הסתברות, תוך מעקב אחר התוצאות, הערך הצפוי הוא הערך ממוצע מכל הערכים המתקבלים. הערך הצפוי הוא מה שכדאי לצפות מראש שיתרחש בטווח הארוך של ניסויים רבים של משחק סיכוי.

משחק הקרנבל שהוזכר לעיל הוא דוגמא למשתנה אקראי בדיד. המשתנה אינו רציף וכל תוצאה מגיעה אלינו במספר שניתן להפריד בינו לבין האחרים. למצוא את הערך הצפוי של משחק שיש לו תוצאות איקס₁, איקס₂,..., איקס_n עם הסתברויות ע₁, ע₂,... , ע_n, לחשב:

איקס₁ע₁ + איקס₂ע₂ +... + איקס_nע_n.

למשחק שלמעלה יש לך סבירות של 5/6 שלא תנצח דבר. הערך של תוצאה זו הוא -2 מכיוון שהוצאת $ 2 כדי לשחק את המשחק. לשישה יש סיכוי של 1/6 להופיע, ולערך זה יש תוצאה של 8. למה 8 ולא 10? שוב עלינו לתת חשבון עבור $ 2 ששילמנו כדי לשחק, ו- 10 - 2 = 8.

כעת חבר ערכים והסתברויות אלה לצפוי נוסחת ערך ובסופו של דבר: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. המשמעות היא שבטווח הארוך, עליכם לצפות להפסיד בממוצע כ -33 סנט בכל פעם שתשחקו במשחק הזה. כן, תזכה לפעמים. אבל תפסיד לעיתים קרובות יותר.

כעת נניח שמשחק הקרנבל שונה מעט. תמורת דמי כניסה זהים של 2 $, אם המספר שמופיע הוא שישה אז תזכה ב -12 $, אחרת אתה לא זוכה בכלום. הערך הצפוי של משחק זה הוא -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. בטווח הארוך לא תאבד כסף, אך לא תזכה בכסף. אל תצפו לראות משחק עם המספרים האלה בקרנבל המקומי שלכם. אם בטווח הארוך לא תפסיד כסף, הקרנבל לא יביא כסף.

עכשיו פנו לקזינו. באותו אופן כמו קודם נוכל לחשב את הערך הצפוי של משחקי סיכויים כמו רולטה. בארה"ב גלגל רולטה כולל 38 משבצות ממוספרות בין 1 ל 36, 0 ו 00. מחצית מה 1-36 הם אדומים, מחציתם שחורים. שניהם 0 וגם 00 הם ירוקים. כדור נוחת באופן אקראי באחד המשבצות, והימורים מוצבים היכן הכדור ינחת.

אחד ההימורים הפשוטים ביותר הוא להמר על אדום. כאן אם אתה מהמר על $ 1 והכדור נוחת על מספר אדום בגלגל, אז תזכה ב -2 $. אם הכדור נוחת על חלל שחור או ירוק בגלגל, אז לא תנצח דבר. מה הערך הצפוי להימור כזה? מכיוון שיש 18 חללים אדומים ישנה סבירות של 18/38 לזכות, עם רווח נקי של 1 $. ישנה סבירות של 20/38 לאבד את ההימור הראשוני שלך בסכום של $ 1. הערך הצפוי של הימור זה ב רולטה הוא 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, שזה בערך 5.3 סנט. כאן לבית יש יתרון קל (כמו בכל משחקי הקזינו).

כדוגמה נוספת, שקול א הגרלה. למרות שניתן לזכות במיליונים במחיר כרטיס 1 דולר, הערך הצפוי של משחק בלוטו מראה עד כמה הוא לא בנוי. נניח שעבור $ 1 תבחר שישה מספרים בין 1 ל- 48. ההסתברות לבחור נכון את כל ששת המספרים היא 1 / 12,271,512. אם תזכה במיליון דולר על קבלת נכונה של כל ששת, מה הערך הצפוי של הגרלה זו? הערכים האפשריים הם - $ 1 להפסד ו- $ 999,999 לזכייה (שוב עלינו לתת את הדעת על העלות שיש לשחק בה ולהחסיר זאת מהזכיות). זה נותן לנו ערך צפוי של:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

אז אם היית משחק בהגרלה שוב ושוב, בטווח הארוך, אתה מפסיד כ 92 סנט - כמעט את כל מחיר הכרטיס שלך - בכל פעם שאתה משחק.

כל הדוגמאות לעיל מסתכלות על דיסקרטיות משתנה רנדומלי. עם זאת, ניתן להגדיר גם את הערך הצפוי למשתנה אקראי רציף. כל שעלינו לעשות במקרה זה הוא להחליף את הסיכום בנוסחה שלנו באינטגרל.

חשוב לזכור כי הערך הצפוי הוא הממוצע לאחר ניסויים רבים של א תהליך אקראי. בטווח הקצר, הממוצע של משתנה אקראי יכול להשתנות משמעותית מהערך הצפוי.