המשמעות של בלעדיות הדדית בסטטיסטיקה

בהסתברות שתיים אירועים אומרים שהם בלעדיים זה מזה אם ורק אם לאירועים אין תוצאות משותפות. אם ניקח בחשבון את האירועים כסטים, היינו אומרים ששני אירועים הם בלעדיים זה מזה כאשר הצומת שלהם הוא סט ריק. אנו יכולים לציין את האירועים האלה א ו ב הם בלעדיים זה מזה על ידי הנוסחה א ∩ ב = Ø. בדומה למושגים רבים מהסבירות, כמה דוגמאות יעזרו להבין את ההגדרה הזו.

נניח שאנחנו גלגל שתי קוביות בעלות שישה צדדים ולהוסיף את מספר הנקודות המוצגות על גבי הקוביות. האירוע המורכב מ"הסכום הוא אפילו "אינו נפרד מהאירוע" הסכום משונה ". הסיבה לכך היא מכיוון שאין דרך אפשרית למספר להיות שווה ומוזר.

כעת נערוך את אותו ניסוי הסתברותי של גלגול שתי קוביות והוספת המספרים המוצגים יחד. הפעם נשקול את האירוע המורכב מסכום משונה והאירוע המורכב מסכום גדול מתשע. שני האירועים הללו אינם בלעדיים זה מזה.

הסיבה לכך ניכרת כאשר אנו בוחנים את תוצאות האירועים. לאירוע הראשון תוצאות של 3, 5, 7, 9 ו- 11. לאירוע השני תוצאות 10, 11 ו -12. מכיוון ש -11 נמצא בשני אלה, האירועים אינם בלעדיים זה מזה.

אנו ממחישים עוד יותר עם דוגמא אחרת. נניח שאנו שואבים כרטיס מהסיפון הסטנדרטי של 52 קלפים. ציור לב אינו בלעדי הדדי לאירוע של ציור מלך. הסיבה לכך היא שיש כרטיס (מלך הלבבות) המופיע בשני האירועים הללו.

יש זמנים שחשוב מאוד לקבוע אם שני אירועים הם בלעדיים הדדית או לא. הידיעה אם שני אירועים הם בלעדיים הדדית משפיעה על חישוב ההסתברות שקורה כזה או אחר.

חזור לדוגמא הכרטיס. אם אנו מציירים קלף אחד מסיפון קלפים רגיל, 52 מה הסיכוי שציירנו לב או מלך?

ראשית, פרקו את זה לאירועים בודדים. כדי למצוא את ההסתברות שציירנו לב, אנו סופרים תחילה את מספר הלבבות בסיפון כ 13 ואז מחלקים את המספר הכולל של הקלפים. המשמעות היא שההסתברות ללב היא 13/52.

כדי למצוא את ההסתברות שציירנו מלך, נתחיל בספירת המספר הכולל של המלכים, וכתוצאה מכך ארבעה, והחלק הבא במחלק הכולל של הקלפים, שהם 52. ההסתברות שציירנו מלך היא 4/52.

הבעיה היא כעת למצוא את ההסתברות לצייר מלך או לב. כאן עלינו להיזהר. מאוד מפתה פשוט להוסיף את ההסתברויות של 13/52 ו- 4/52 יחד. זה לא יהיה נכון מכיוון ששני האירועים אינם בלעדיים זה מזה. מלך הלבבות נספר פעמיים בהסתברויות הללו. כדי לסתור את הספירה הכפולה, עלינו להפחית את ההסתברות לשרטט מלך ולב, שהם 1/52. לכן ההסתברות שציירנו מלך או לב היא 16/52.

נוסחה הידועה בשם כלל תוספת נותן דרך חלופית לפתור בעיה כמו זו שלמעלה. כלל התוספת מתייחס למעשה לכמה נוסחאות שקשורות זו לזו. עלינו לדעת אם האירועים שלנו הם בלעדיים הדדית על מנת לדעת באיזו נוסחת תוספת מתאימה לשימוש.