הנוסחה לערך הצפוי

שאלה טבעית אחת לשאול לגבי חלוקת הסתברות היא "מה המרכז שלה?" הערך הצפוי הוא מדידה אחת כזו של מרכז חלוקת ההסתברות. מכיוון שהיא מודדת את הממוצע, אין להתפלא שהנוסחה הזו נגזרת מזו של הממוצע.

כדי לבסס נקודת פתיחה עלינו לענות על השאלה "מה הערך הצפוי?" נניח שיש לנו משתנה אקראי המשויך לניסוי הסתברות. בואו נגיד שאנחנו חוזרים על ניסוי זה שוב ושוב. בטווח הארוך של מספר חזרות של אותו ניסוי הסתברות, אם היינו ממוצעים מכל הערכים שלנו של משתנה רנדומלי, נקבל את הערך הצפוי.

מה להלן נראה כיצד להשתמש בנוסחה לערך צפוי. אנו נסתכל על ההגדרות הבדידות והרציפות ונראה את הדמיון וההבדלים בנוסחאות.

נתחיל בניתוח המקרה הבודד. ניתן משתנה אקראי בדיד איקס, נניח שיש לו ערכים איקס₁, איקס₂, איקס₃,... איקס_n, וההסתברויות בהתאמה של ע₁, ע₂, ע₃,... ע_n. זה אומר שתפקוד מסת ההסתברות למשתנה אקראי זה נותן ו(איקס_אני) = ע_אני.

הערך הצפוי של איקס ניתנת על ידי הנוסחה:

E (איקס) = איקס₁ע₁ + איקס₂ע₂ + איקס₃ע₃ +... + איקס_nע_n.

השימוש בפונקציית מסת ההסתברות וציון הסיכום מאפשר לנו לכתוב את הנוסחה בצורה קומפקטית יותר באופן הבא, שם הסיכום משתלט על המדד אני:

E (איקס) = Σ איקס_אניו(איקס_אני).

מועיל לראות גרסה זו של הנוסחה מכיוון שהיא פועלת גם כשיש לנו שטח מדגם אינסופי. ניתן להתאים בקלות את הנוסחה הזו למקרה הרצוף.

הפוך מטבע שלוש פעמים ותן איקס להיות מספר הראשים. המשתנה האקראי איקס הוא דיסקרטי וסופי. הערכים האפשריים היחידים שיכולים להיות לנו הם 0, 1, 2 ו -3. זה עם חלוקת הסתברות של 1/8 עבור איקס = 0, 3/8 עבור איקס = 1, 3/8 עבור איקס = 2, 1/8 עבור איקס = 3. השתמש בנוסחת הערך הצפויה כדי להשיג:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

בדוגמה זו אנו רואים שבטווח הארוך אנו ממוצעים בסך הכל 1.5 ראשים מהניסוי הזה. זה הגיוני עם האינטואיציה שלנו כי מחצית 3 היא 1.5.

אנו פונים כעת למשתנה אקראי רציף, שאותו נציין באמצעות איקס. אנו נותנים לתפקוד צפיפות ההסתברות של איקס יינתן על ידי הפונקציה ו(איקס).

הערך הצפוי של איקס ניתנת על ידי הנוסחה:

E (איקס) = ∫ x f(איקס) דאיקס.

כאן אנו רואים שהערך הצפוי של המשתנה האקראי שלנו בא לידי ביטוי כאינטגרל.

יש הרבה יישומים לערך הצפוי של משתנה אקראי. נוסחה זו מציגה הופעה מעניינת ב- פרדוקס סנט פטרסבורג.