חישובים עם פונקציית הגמא

ה פונקציית גאמה מוגדר על ידי הנוסחה הבאה המסובכת למראה:

Γ ( ז ) = ∫₀^∞ה ^{- t}t^z-1dt

שאלה אחת שיש לאנשים כאשר הם נתקלים במשוואה מבלבלת זו לראשונה, "כיצד אתה משתמש בנוסחה זו כדי לחשב ערכים של פונקצית גאמה? " זו שאלה חשובה שכן קשה לדעת מה המשמעות של פונקציה זו אפילו ומה עומדים כל הסמלים ל.

אחת הדרכים לענות על שאלה זו היא התבוננות בכמה חישובי דוגמה עם פונקציית הגמא. לפני שאנחנו עושים זאת, ישנם כמה דברים מחישוב שעלינו לדעת, למשל כיצד לשלב סוג שאינו אינטגרלי לא תקין, וכי e הוא קבוע מתמטי.

לפני שאנחנו מבצעים חישובים כלשהם, אנו בוחנים את המוטיבציה שמאחורי חישובים אלה. פעמים רבות פונקציות הגמא מופיעות מאחורי הקלעים. מספר פונקציות של צפיפות הסתברות נאמרות מבחינת פונקציית הגמא. דוגמאות לכך כוללות את חלוקת הגמא ואת חלוקת התלמידים, אי אפשר להפריז בחשיבות פונקציית הגמא.

החישוב הראשון שנלמד הוא מציאת הערך של פונקציית הגמא עבור Γ (1). זה נמצא על ידי הגדרה ז = 1 בנוסחה שלמעלה:

∫₀^∞ה ^{- t}dt

אנו מחשבים את האינטגרל לעיל בשני שלבים:

• האינטגרל הבלתי מוגדר ∫ה ^{- t}dt= -ה ^{- t} + ג
• זהו אינטגרל לא תקין, כך שיש לנו ∫₀^∞ה ^{- t}dt = לימ_{b → ∞} -ה ^{- ב} + ה ⁰ = 1

החישוב לדוגמא הבא שנשקול דומה לדוגמה האחרונה, אך אנו מגדילים את הערך של ז על ידי 1. אנו מחשבים את הערך של פונקציית הגמא עבור Γ (2) על ידי הגדרה ז = 2 בנוסחה לעיל. השלבים זהים לעיל:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞ה ^{- t}t dt

האינטגרל הבלתי מוגדר ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -ה ^{- t} + ג. למרות שרק הגדלנו את הערך של ז עד 1 דרוש יותר עבודה כדי לחשב אינטגרל זה. על מנת למצוא אינטגרל זה עלינו להשתמש בטכניקה מחשבון הנקרא שילוב על ידי חלקים. אנו משתמשים כעת בגבולות האינטגרציה בדיוק כנ"ל וצריכים לחשב:

לימ_{b → ∞}- להיות ^{- ב} -ה ^{- ב} -0e ⁰ + ה ⁰.

תוצאה מחישוב המכונה הכלל של L’Hospital מאפשר לנו לחשב את מגבלת הגבול_{b → ∞}- להיות ^{- ב} = 0. משמעות הדבר היא שערך האינטגרל שלנו למעלה הוא 1.

תכונה נוספת של פונקציית הגמא וכזו המחברת אותה ל מפעל היא הנוסחה Γ (ז +1 ) =זΓ (ז ) ל ז כל מספר מורכב עם חיובי אמיתי חלק. הסיבה שזה נכון היא תוצאה ישירה של הנוסחה לתפקוד הגמא. על ידי שימוש באינטגרציה על ידי חלקים אנו יכולים ליצור מאפיין זה של פונקציית הגמא.