מתמטיקה וקטורית: מבוא בסיסי אך מקיף

זוהי מבוא בסיסי, אם כי יש לקוות למדי, לעבודה עם וקטורים. וקטורים באים לידי ביטוי במגוון רחב של דרכים החל מעקירה, מהירות ותאוצה לכוחות ושדות. מאמר זה מוקדש למתמטיקה של וקטורים; יישום שלהם במצבים ספציפיים יטופל במקום אחר.

א כמות וקטורית, או וקטור, מספק מידע על לא רק על גודל אלא גם על כיוון הכמות. כשאתה נותן הוראות לבית, לא די לומר שהוא נמצא במרחק של 10 מיילים, אך יש לספק את הכיוון של אותם עשרה מיילים כדי שהמידע יהיה שימושי. משתנים שהם וקטורים יצוינו עם משתנה משטח מודגש, אם כי מקובל לראות וקטורים המסומנים בחצים קטנים מעל המשתנה.

בדיוק כמו שאנחנו לא אומרים שהבית השני נמצא במרחק של -10 מיילים משם, גודל הווקטור הוא תמיד מספר חיובי, או ליתר דיוק הערך המוחלט של "האורך" של הווקטור (אם כי הכמות עשויה לא להיות באורך, היא עשויה להיות מהירות, תאוצה, כוח וכו ') שלילי מול וקטור אינו מעיד על שינוי בעוצמה, אלא בכיוון של וקטור.

בדוגמאות לעיל המרחק הוא הכמות הסקלית (10 מיילים) אבל עקירה הוא הכמות הווקטורית (10 מייל לצפון-מזרח). באופן דומה, מהירות היא כמות סקלרית ואילו המהירות היא א וקטור כמות.

א וקטור יחידה הוא וקטור שיש לו גודל אחד. וקטור המייצג וקטור יחידה הוא בדרך כלל גם מודגש, אם כי יהיה לו קראט (^) מעליו כדי לציין את אופי היחידה של המשתנה. וקטור היחידה איקס, כאשר כתוב עם קראט, נקרא בדרך כלל "כובע x" מכיוון שהקרט נראה כמו כובע על המשתנה.

ה אפס וקטור, או וקטור null, הוא וקטור בעוצמה של אפס. זה כתוב כ 0 במאמר זה.

וקטורים בדרך כלל מכוונים למערכת קואורדינטות, כאשר הפופולרי שבהם הוא המישור הקרטזי הדו-ממדי. למישור הקרטסי ציר אופקי המסומן x וציר אנכי שכותרתו y. כמה יישומים מתקדמים של וקטורים בפיזיקה דורשים שימוש במרחב תלת מימדי, בו הצירים הם x, y ו- z. מאמר זה יעסוק בעיקר במערכת הדו-ממדית, אם כי ניתן להרחיב את המושגים בזהירות מסוימת לשלושה ממדים ללא יותר מדי צרות.

וקטורים במערכות קואורדינטות מרובות מימדים ניתנים לפירוק שלהם וקטורי רכיב. במקרה הדו-ממדי, התוצאה היא א רכיב x ו רכיב y. כאשר מפרקים וקטור לרכיביו, הווקטור הוא סכום של המרכיבים:

ו = ו_איקס + ו_y

תטאו_איקסו_yו

ו_איקס / ו = cos תטא ו ו_y / ו = חטא תטאמה שנותן לנו
ו_איקס = ו cos תטא ו ו_y = ו חטא תטא

שימו לב שהמספרים כאן הם גודל הווקטורים. אנו יודעים את כיוון הרכיבים, אך אנו מנסים למצוא את גודלם, ולכן אנו מפשיטים את המידע הכיווני וביצע את חישובי הסקלר האלה כדי להבין את הגודל. ניתן להשתמש ביישום נוסף של טריגונומטריה למציאת קשרים אחרים (כמו המשיק) הקשורים בין חלק מהכמויות הללו, אבל אני חושב שזה מספיק לעת עתה.

במשך שנים רבות, המתמטיקה היחידה שתלמיד לומד היא מתמטיקה סקלרית. אם אתם נוסעים חמישה מיילים צפונה ו -5 מיילים מזרחה, נסעתם 10 מיילים. הוספת כמויות סקלריות מתעלמת מכל המידע אודות ההוראות.

וקטורים מניפולציות שונות בצורה שונה. תמיד יש לקחת בחשבון את הכיוון בעת ​​ביצוע פעולות בהן.

כשמוסיפים שני וקטורים, זה כאילו שלקחת את הווקטורים והנחתם אותם מקצה לקצה ויצרת וקטור חדש שפועל מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום. אם לווקטורים יש אותו כיוון, זה פשוט אומר להוסיף את גודל הגודל, אבל אם יש להם כיוונים שונים זה יכול להיות מורכב יותר.

אתה מוסיף וקטורים על ידי פריצתם לרכיבים שלהם ואז הוספת הרכיבים, כמפורט להלן:

א + ב = ג
א_איקס + א_y + ב_איקס + ב_y =
( א_איקס + ב_איקס) + ( א_y + ב_y) = ג_איקס + ג_y

שני רכיבי ה- x יביאו לרכיב ה- x של המשתנה החדש, ואילו שני רכיבי ה- y יביאו למרכיב ה- y של המשתנה החדש.

הסדר בו אתה מוסיף את הווקטורים לא משנה. למעשה, מספר מאפיינים מתוספת סקלרית מחזיקים לתוספת וקטורית:

רכוש זהות של תוספת וקטורית
א + 0 = א
רכוש הפוך של תוספת וקטורית
א + -א = א - א = 0
רכוש רעיוני של תוספת וקטורית
א = א
רכוש קומולטטיבי תוספת וקטורית
א + ב = ב + א
רכוש אסוציאטיבי של תוספת וקטורית
(א + ב) + ג = א + (ב + ג)
רכוש מעבר של תוספת וקטורית
אם א = ב ו ג = ב, לאחר מכן א = ג

הפעולה הפשוטה ביותר שניתן לבצע על וקטור היא להכפיל אותו בסקלר. כפל סקלרי זה משנה את גודל הווקטור. במילים אחרות, זה הופך את הווקטור לארוך או קצר יותר.

כאשר מכפילים פעמים סקלר שלילי, הווקטור המתקבל יצביע בכיוון ההפוך.

ה מוצר סקלרי של שני ווקטורים היא דרך להכפיל אותם יחד בכדי להשיג כמות סקלרית. זה כתוב ככפלה של שני הווקטורים, כאשר נקודה באמצע מייצגת את הכפל. ככאלה, זה נקרא לעתים קרובות מוצר נקודה של שני וקטורים.

כדי לחשב את תוצרת הנקודה של שני ווקטורים, מחשבים את הזווית שביניהם. במילים אחרות, אם היו חולקים את אותה נקודת התחלה, מה תהיה מדידת הזווית (תטא) ביניהם. מוצר הנקודה מוגדר כ:

א * ב = ab cos תטא

abאבא

במקרים בהם הווקטורים בניצב (או תטא = 90 מעלות), cos תטא יהיה אפס. לכן, תוצר הנקודה של וקטורים בניצב הוא תמיד אפס. כאשר הווקטורים הם במקביל (או תטא = 0 מעלות), cos תטא הוא 1, כך שהמוצר הסקלרי הוא רק תוצר בסדר גודל.

ניתן להשתמש בעובדות הקטנות והמסודרות הללו כדי להוכיח שאם אתה מכיר את המרכיבים, אתה יכול לבטל את הצורך בתטא לחלוטין עם המשוואה (הדו-ממדית):

א * ב = א_איקס ב_איקס + א_y ב_y

ה מוצר וקטורי כתוב בצורה א איקס ב, ונקרא בדרך כלל מוצר חוצה של שני וקטורים. במקרה זה אנו מכפילים את הווקטורים ובמקום לקבל כמות סקלרית נקבל כמות וקטורית. זה החישובים הווקטוריים ביותר שעסקנו איתם, כמו שהוא לא קומיטטיבית וכרוכה בשימוש באימת הנפש כלל ימין, שאגיע אליהם תוך זמן קצר.

שוב, אנו רואים שני וקטורים שנמשכים מאותה נקודה, עם הזווית תטא ביניהם. אנחנו תמיד לוקחים את הזווית הקטנה ביותר, כך תטא תמיד יהיה בטווח שבין 0 ל- 180 והתוצאה לעולם לא תהיה שלילית. גודל הווקטור המתקבל נקבע באופן הבא:

אם ג = א איקס ב, לאחר מכן ג = ab חטא תטא

התוצר הווקטורי של וקטורים מקבילים (או אנטי-פאראלאליים) הוא תמיד אפס

המוצר הווקטורי יהיה בניצב למישור שנוצר משני הווקטורים הללו. אם אתה מציג את המטוס כשטוח על שולחן, השאלה תהיה אם הווקטור שנוצר הולך למעלה ("החוצה" שלנו מהטבלה, מנקודת המבט שלנו) או למטה (או "אל" הטבלה, מהשלנו נקודת מבט).

על מנת להבין זאת, עליך להחיל את מה שנקרא כלל ימין. כשלמדתי פיזיקה בבית הספר, אני תיעוב הכלל הימני. בכל פעם שהשתמשתי בו הייתי צריך לשלוף את הספר כדי לבדוק איך הוא עובד. אני מקווה שהתיאור שלי יהיה קצת יותר אינטואיטיבי מזה שהתוודעתי אליו.

אם יש לך א איקס ב תניחו את יד ימין לאורך ב כך שהאצבעות (למעט האגודל) יוכלו להתעקם כדי להצביע לאורך א. במילים אחרות, אתה סוג של מנסה להפוך את הזווית תטא בין כף היד לארבע אצבעות יד ימין. האגודל, במקרה זה, יתקע ישר (או מחוץ למסך, אם תנסה לעשות זאת עד למחשב). מפרקי האצבעות שלך יהיו בשורה גסה עם נקודת ההתחלה של שני הווקטורים. דיוק הוא לא חיוני, אבל אני רוצה שתשיג את הרעיון מכיוון שאין לי תמונה זו לספק.

עם זאת, אם אתה שוקל ב איקס א, תעשה את ההפך. תניח את יד ימין א והפנה את האצבעות לאורך ב. אם אתה מנסה לעשות זאת על מסך המחשב, אתה תמצא את זה בלתי אפשרי, אז השתמש בדמיון שלך. תגלו שבמקרה זה, האגודל המדומיין שלכם מצביע אל מסך המחשב. זה הכיוון של הווקטור שנוצר.

הכלל הימני מראה את הקשר הבא:

א איקס ב = - ב איקס א

מונית

ג_איקס = א_y ב_ז - א_ז ב_y
ג_y = א_ז ב_איקס - א_איקס ב_ז
ג_ז = א_איקס ב_y - א_y ב_איקס

abג_איקסג_yג

ברמות גבוהות יותר, וקטורים יכולים להיות מורכבים ביותר לעבוד איתם. קורסים שלמים במכללה, כמו אלגברה לינארית, מקדישים זמן רב למטריצות (שנמנעתי ממנה בחביבות במבוא זה), וקטורים ו חללים וקטוריים. רמת פירוט זו היא מעבר לתחום של מאמר זה, אך זה אמור לספק את היסודות הנחוצים לרוב המניפולציה הווקטורית המתבצעת בכיתת הפיזיקה. אם אתה מתכוון ללמוד פיסיקה לעומק רב יותר, תובא בפניך המושגים הווקטוריים המורכבים יותר ככל שתמשיך בחינוך שלך.