דרך פופולרית אחת ללמוד הסתברות היא לגלגל קוביות. למות רגילה יש שישה צדדים מודפסים עם נקודות קטנות שמספרות 1, 2, 3, 4, 5 ו- 6. אם המוות הוא הוגן (ואנחנו נעשה זאת להניח שכולם הם), אז כל אחת מהתוצאות הללו סבירה באותה מידה. מכיוון שיש שש תוצאות אפשריות, ההסתברות להשיג כל צד של המות היא 1/6. ההסתברות לגלגל 1 היא 1/6, ההסתברות לגלגל 2 היא 1/6 וכן הלאה. אבל מה קורה אם נוסיף למות נוספים? מהן ההסתברויות לגלגול שתי קוביות?
הסתברות קוביות
כדי לקבוע נכון את ההסתברות של גליל קוביות, עלינו לדעת שני דברים:
- גודל ה- שטח מדגם או קבוצת התוצאות הכוללות האפשריות
- באיזו תדירות מתרחש אירוע
בתוך הסתברות, אירוע הוא תת-קבוצה מסוימת של שטח הדגימה. לדוגמא, כאשר רק גלגול אחד מגולגל, כמו בדוגמה שלמעלה, שטח הדגימה שווה לכל הערכים על המשטח, או לסט (1, 2, 3, 4, 5, 6). מכיוון שהמתה הוגנת, כל מספר בערכה מתרחש רק פעם אחת. במילים אחרות, התדירות של כל מספר היא 1. כדי לקבוע את ההסתברות לגלגל אחד מהמספרים על גבי המשטח, אנו מחלקים את תדר האירועים (1) לפי גודל שטח המדגם (6), וכתוצאה מכך מסתבר 1/6.
גלגול של שתי קוביות הוגנות יותר מכפיל את הקושי בחישוב הסתברויות. הסיבה לכך היא שגלגול למות אחד אינו תלוי בגלגול שנייה. לגליל אחד אין השפעה על השנייה. כאשר אנו מתמודדים עם אירועים עצמאיים אנו משתמשים ב-
כלל הכפל. השימוש בתרשים עץ מראה כי יש 6 x 6 = 36 תוצאות אפשריות מגלגול שתי קוביות.נניח שהמוות הראשון שאנו מגלגלים עולה כ -1. הגליל האחר יכול להיות גלגל 1, 2, 3, 4, 5 או 6. עכשיו נניח שהמות הראשון הוא 2. הגליל האחר יכול שוב להיות 1, 2, 3, 4, 5 או 6. מצאנו כבר 12 תוצאות אפשריות, ועדיין לא למצות את כל האפשרויות של המוות הראשון.
טבלת ההסתברות של גלגול שתי קוביות
התוצאות האפשריות של גלגול שתי קוביות מיוצגות בטבלה שלהלן. שימו לב שמספר התוצאות האפשריות הכוללות שווה לשטח הדגימה של המטה הראשונה (6) כפול על ידי שטח המדגם של המות השנייה (6), שהיא 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
שלוש קוביות או יותר
אותו עיקרון תקף אם אנו עובדים עליו בעיות הכרוכות בשלוש קוביות. אנו מתרבים ורואים שיש 6 x 6 x 6 = 216 תוצאות אפשריות. ככל שיהיה מסורבל לכתוב את הכפל החוזר ונשנה, אנו יכולים להשתמש בממצאים כדי לפשט את העבודה. לשני קוביות יש 62 תוצאות אפשריות. לשלוש קוביות יש 63 תוצאות אפשריות. באופן כללי, אם נתגלגל n קוביות ואז יש בסך הכל 6n תוצאות אפשריות.
בעיות לדוגמא
בעזרת ידע זה, אנו יכולים לפתור כל מיני בעיות הסתברות:
1. שתי קוביות בעלות שישה צדדים מגולגלות. מה ההסתברות שסכום שתי הקוביות הוא שבע?
הדרך הקלה ביותר לפתור בעיה זו היא להתייעץ עם הטבלה שלמעלה. תבחין כי בכל שורה יש גליל קוביות אחד שבו הסכום של שתי הקוביות שווה לשבע. מכיוון שיש שש שורות, יש שש תוצאות אפשריות בהן סכום שתי הקוביות שווה לשבע. מספר התוצאות האפשריות נשאר 36. שוב, אנו מוצאים את ההסתברות על ידי חלוקת תדר האירוע (6) בגודל שטח המדגם (36), וכתוצאה מכך הסתברות של 1/6.
2. שתי קוביות בעלות שישה צדדים מגולגלות. מה ההסתברות לכך הסכום מבין שתי הקוביות שלוש?
בבעיה הקודמת יתכן ששמת לב שהתאים שבהם סכום שתי הקוביות שווה לשבעה יוצרים אלכסון. כך גם כאן, למעט במקרה זה ישנם רק שני תאים שבהם סכום הקוביות הוא שלושה. הסיבה לכך היא שיש רק שתי דרכים להשיג את התוצאה. עליכם לגלגל 1 ו- 2 או עליכם לגלגל 2 ו- 1. השילובים לגלגל סכום של שבעה גדולים בהרבה (1 ו 6, 2 ו 5, 3 ו 4 וכן הלאה). כדי למצוא את ההסתברות שסכום שתי הקוביות הוא שלוש, נוכל לחלק את תדר האירועים (2) בגודל שטח המדגם (36), וכתוצאה מכך הסתברות של 1/18.
3. שתי קוביות בעלות שישה צדדים מגולגלות. מה ההסתברות ש- מספרים על הקוביות שונות?
שוב, אנו יכולים לפתור בעיה זו בקלות על ידי התייעצות עם הטבלה לעיל. תבחין שהתאים שבהם המספרים על הקוביות זהים מהווים אלכסון. יש רק שישה מהם, וברגע שנחצה אותם יש לנו את התאים שנותרו בהם המספרים על הקוביות שונים. אנו יכולים לקחת את מספר השילובים (30) ולחלק אותו בגודל שטח המדגם (36), וכתוצאה מכך הסתברות של 5/6.