תכונות מתמטיות של גלים

גלים פיזיים, או גלים מכניים, יוצרים באמצעות רטט של מדיום, יהיה זה מיתר, קרום כדור הארץ, או חלקיקי גזים ונוזלים. לגלים יש תכונות מתמטיות שניתן לנתח כדי להבין את תנועת הגל. מאמר זה מציג את תכונות הגל הכלליות הללו, ולא כיצד ליישם אותן במצבים ספציפיים בפיזיקה.

ישנם שני סוגים של גלים מכניים.

A הוא כזה שהעקירות של המדיום ניצבות (רוחביות) לכיוון התנועה של הגל לאורך המדיום. רטט מיתר בתנועה תקופתית, כך שהגלים נעים לאורכו, הוא גל רוחבי, כמו גם גלים באוקיאנוס.

א גל אורך הוא כזה שהעקירות של המדיום הן קדימה ואחורה באותו כיוון של הגל עצמו. גלי קול, בהם נדחפים חלקיקי האוויר לכיוון הנסיעה, הם דוגמא לגל אורכי.

למרות שהגלים שנדונו במאמר זה יתייחסו לנסיעות במדיום, ניתן להשתמש במתמטיקה שהוצגה כאן לניתוח תכונות של גלים לא מכניים. קרינה אלקטרומגנטית, למשל, מסוגלת לעבור בחלל ריק, אך עדיין, יש את אותם תכונות מתמטיות כמו גלים אחרים. לדוגמה, אפקט דופלר עבור גלי קול ידוע, אך קיים דומה אפקט דופלר עבור גלי אורוהם מבוססים על אותם עקרונות מתמטיים.

1. ניתן לראות בגלים כהפרעה במדיום סביב מצב שיווי משקל, שנמצא בדרך כלל במנוחה. האנרגיה של הפרעה זו היא הגורמת לתנועת הגל. בריכת מים נמצאת בשיווי משקל כשאין גלים, אך ברגע שנזרקים לתוכה אבן, מופר שיווי המשקל של החלקיקים ותנועת הגל מתחילה.
   instagram viewer
2. הפרעת הגל נעה, או מגביר, במהירות מוגדרת, הנקראת מהירות הגל (v).
3. גלים מעבירים אנרגיה, אך לא משנה. המדיום עצמו לא נוסע; החלקיקים האישיים עוברים תנועה קדימה ואחורה או קדימה ולמטה סביב תנוחת שיווי המשקל.

כדי לתאר מתמטית תנועת גלים, אנו מתייחסים למושג א תפקוד גלים, המתאר את מיקום החלקיק במדיום בכל עת. הפונקציות הבסיסיות ביותר מבין הגלים היא גל הסינוס, או הגל הסינוסי, שהוא גל תקופתי (כלומר גל עם תנועה חוזרת).

חשוב לציין כי פונקציית הגל אינה מתארת ​​את הגל הפיזי, אלא היא גרף של העקירה לגבי מיקום שיווי המשקל. זה יכול להיות מושג מבלבל, אך הדבר שימושי הוא שנוכל להשתמש בגל סינוסואידי כדי לתאר את התקופתיות ביותר תנועות, כמו לנוע במעגל או להניף מטוטלת, שאינן בהכרח נראות כמו גל כשאתה צופה בפועל תנועה.

• מהירות הגל (v) - מהירות התפשטות הגל
• אמפליטודה (א) - העוצמה המרבית של העקירה משיווי משקל, ביחידות SI של מטרים. באופן כללי, זה המרחק מנקודת האיזון של שיווי הגל לעקירה המרבית שלו, או שזה מחצית העקירה הכוללת של הגל.
• פרק זמן (ט) - זה הזמן למחזור גלים אחד (שני פולסים, או מהפסגה לסמל או שוקת לשוקת), ביחידות SI של שניות (אם כי ניתן לכנותה "שניות למחזור").
• תדירות (ו) - מספר המחזורים ביחידת זמן. יחידת ה- SI של התדר היא הרץ (Hz) ו-

  1 הרץ = מחזור 1 / s = 1 שניות^-1

• תדר זוויתי (ω) - הוא 2π פעמים בתדר, ביחידות SI של רדיאנים בשנייה.
• אורך גל (λ) - המרחק בין שתי נקודות כלשהן במיקומים תואמים על חזרות רצופות בגל, כך (למשל) מקפה או שוקת אחת לאחרת, בתוך יחידות SI של מטרים.
• מספר גל (k) - נקרא גם התפשטות קבועה, כמות שימושית זו מוגדרת כ -2 π מחולק באורך הגל, כך יחידות ה- SI הן רדיאנים למטר.
• דופק - אורך חצי גל אחד, מאיזון שיווי משקל

כמה משוואות שימושיות להגדרת הכמויות לעיל הן:

v = λ / ט = λ f

ω = 2 π f = 2 π/ט

ט = 1 / ו = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = K V

המיקום האנכי של נקודה על הגל, y, ניתן למצוא כפונקציה של המיקום האופקי, איקסוהזמן, t, כשאנחנו מסתכלים על זה. אנו מודים למתמטיקאים החביבים על שעשו עבודה זו עבורנו, ומקבלים את המשוואות השימושיות הבאות כדי לתאר את תנועת הגל:

y(x, t) = א חטא ω(t - איקס/v) = א חטא 2π f(t - איקס/v)

y(x, t) = א חטא 2π(t/ט - איקס/v)

y (x, t) = א חטא (ω t - kx)

מאפיין אחרון של פונקציית הגל הוא היישום חשבון לקחת את הנגזרת השנייה מניב את משוואת גלים, שהוא מוצר מסקרן ולעיתים מועיל (ושוב אנו מודים למתמטיקאים על כך ונקבל אותם מבלי להוכיח זאת):

ד²y / dx² = (1 / v²) ד²y / dt²

הנגזרת השנייה של y ביחס ל איקס שווה לנגזרת השנייה של y ביחס ל t מחולק על ידי מהירות הגל בריבוע. התועלת העיקרית במשוואה זו היא זו בכל פעם שהיא מתרחשת, אנו יודעים שהפונקציה y פועל כגל עם מהירות גל v ולכן, ניתן לתאר את המצב באמצעות פונקציית הגל.