חלוקה אחת של משתנה אקראי חשובה לא ליישומים שלה, אלא למה שהיא אומרת לנו על ההגדרות שלנו. התפלגות הקאוצ'י היא דוגמא אחת כזו, המכונה לעיתים דוגמה פתולוגית. הסיבה לכך היא שלמרות שהפצה זו מוגדרת היטב ויש לה קשר לתופעה פיזית, אין להפצה אין אמצעי או שונות. אכן, משתנה אקראי זה אינו בעל א פונקצית יצירת רגעים.
הגדרת התפלגות הקאוצ'י
אנו מגדירים את התפלגות הקאוצ'י על ידי התחשבות בספינר, כמו הסוג במשחק לוח. מרכז הטווינר הזה מעוגן על גבי ה- y ציר בנקודה (0, 1). לאחר סיבוב הטווינר, נרחיב את קטע הקו של הספינר עד שהוא חוצה את ציר ה- x. זה יוגדר כמשתנה האקראי שלנו איקס.
אנו מאפשרים לציין את הזעיר ביותר מבין שתי הזוויות שהספינר מייצר עם y ציר. אנו מניחים כי ספינר זה נוטה באותה מידה ליצור זווית כלשהי כמו אחרת, ולכן ל- W יש תפוצה אחידה שנעה בין -π / 2 ל- π / 2.
טריגונומטריה בסיסית מספקת לנו קשר בין שני המשתנים האקראיים שלנו:
איקס = שזוףW.
פונקציית ההפצה המצטברת שלאיקסנגזר כדלקמן:
ח(איקס) = ע(איקס < איקס) = ע(שזוףW < איקס) = ע(W < ארקטןאיקס)
לאחר מכן אנו משתמשים בעובדה שW זה אחיד, וזה נותן לנו:
ח(איקס) = 0.5 + (ארקטןאיקס)/π
כדי להשיג את פונקציית צפיפות ההסתברות נבדיל את פונקציית הצפיפות המצטברת. התוצאה היא ח(x) = 1/[π (1 + איקס2) ]
תכונות של חלוקת הקאוצ'י
מה שהופך את התפלגות הקאוצ'י למעניינת הוא שלמרות שהגדרנו אותה באמצעות המערכת הפיזית של א לספינר אקראי, למשתנה אקראי עם חלוקה של קאוצ'י אין ממוצע, שונות או יצירת רגעים פונקציה. כל ה רגעים לגבי המקור המשמש להגדרת פרמטרים אלה אינם קיימים.
אנו מתחילים בבחינת הממוצע. הממוצע מוגדר כערך הצפוי של המשתנה האקראי שלנו וכך E [איקס] = ∫-∞∞איקס /[π (1 + איקס2)] דאיקס.
אנו משתלבים באמצעות החלפה. אם נקבע u = 1 +איקס2 אז אנו רואים שדu = 2איקס דאיקס. לאחר ביצוע ההחלפה, האינטגרל הלא תקין שהתקבל אינו מתכנס. המשמעות היא שהערך הצפוי אינו קיים, והממוצע אינו מוגדר.
באופן דומה השונות ותפקוד יצירת הרגע אינם מוגדרים.
שמות התפלגות הקאוצ'י
התפוצה של קאוצ'י נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין-לואי קאוצ'י (1789 - 1857). למרות שהפצה זו נקראה בשם Cuchchy, מידע על ההפצה פורסם לראשונה על ידי פויסון.